معمای المپیادی: مجموع مکعب ارقام

گزینه دو
370

سؤال می توانست بدون راهنمایی ارائه سه عدد و بیان اینکه فقط چهار عدد اینچنینی وجود دارد مطرح شود که ارائه راه حل آن جالبتر می شد.
اما در حد این سؤال، همین قدر کافی است که اگر عددی (در اینجا سه رقمی) با رقم یکان یک (371) منطبق بر فرض مسأله وجود داشته باشد، همان عدد با یکان صفر هم جواب مسأله خواهد بود. زیرا با وقتی یکان یک تبدیل به صفر می شود از هر دو طرف تساوی فقط یک واحد کاسته می شود (مکعب یک همان یک است!)

حل کامل آن پیچیدگی خاصی ندارد اما کمی حوصله می خواهد:

اگر عدد مطلوب را abc فرض کنیم (سه رقمی) باید داشته باشیم:
a(100-a2)=c(c2-1)+b(b2-1)
جمله شامل a (سمت چپ تساوی) همیشه مثبت و یکی از اعداد 99،171،192،273،288،336،357،375،384 می باشد.
جمله شامل c هم همیشه مثبت و یکی از اعداد 0،6،24،60،120،210،336،504،720 خواهد بود.
اما جمله شامل b یکی از اعداد 639،432،273،156،75،24،0 و 3- یا 9- یا 12- می شود.

حالا به روش حذفی معلوم است که c نمی تواند 504 یا 720 شود زیرا حداکثر جمله a فقط 384 می باشد و هیچ کدام از عددهای منفی مجاز نمی توانند آن را اینچنین کاهش دهند. با استدلال مشابه b هم نمی تواند 639 یا 432 باشد.

پس می ماند هفت عدد برای جمله با c و هشت عدد برای جمله با b. می توان با تشکیل یک جدول هفت در هشت و با سر سطرها و سر ستونهای مقادیر مجاز جملات شامل b و c در هر خانه جمع جبری این دو جمله را نوشت. خانه هایی از جدول مجاز و قابل قبول هستند که مقدارشان در فهرست مقادیر مجاز جمله شامل a باشد.
بدین ترتیب سه خانه جدول مطلوب می شوند که برای رابطه بالا:
1) 336+0=336
2) 24+75=99
3) 0+273=273

برای این سه تساوی اعداد مطلوب عبارتند از:
1) 470
2) 153
3) 370 و 371 زیرا 0 برای عبارت شامل c از دو مقدار 0 و 1 برای c حاصل می شود.

با تقدیم احترام.

مرسی از سایت خوبتون. کاملا از بقیه متمایز هستین

سخت بود

گزینه ی 5 است