سه شنبه ۲۷ مهر ۱۴۰۰
شنبه ۲۷ اردیبهشت ۱۳۹۳ 6978 0 5

کاربرد ریاضیات در رشته اقتصاد نسبت به سایر رشته های علوم اجتماعی بسیار برجسته تر است.

ملاحظاتی اساسی پیرامون کاربرد ریاضیات در اقتصاد

یدالله دادگر (1)

چکیده: 
کاربرد ریاضیات در رشته اقتصاد نسبت به سایر رشته های علوم اجتماعی بسیار برجسته تر است. با وجودی که ابزار ریاضی برای درک بهتر و سریع تر اقتصاد، کمک شایانی به این علم می کند، در عین حال، عدم توجه به ملاحظاتی پیرامون جایگاه این ابزار و ورود به محدوده افراط و تفریط در مورد آن موجب کاستن اعتبار آن می شود. این مقاله در صدد است به این گونه ملاحظات بپردازد. ابتدا بطور مختصر به طرح بحث اشاره می شود. سپس به تحولات موضوع و در بخش بعدی به مسائل و دشواریهای حوزه مربوطه پرداخته می شود. تاکید بر چند نتیجه مهم بخش پایانی را تشکیل می دهد. 

واژگان کلیدی: ریاضیات، اقتصاد، اقتصاد محض
 
1. طرح بحث و موضوعات اولیه 
ریاضیات شعبه ای از علوم است که علمیت آن جنبه محض و خالص دارد. به این صورت که بر خلاف علوم طبیعی (از قبیل فیزیک، شیمی، زیست شناسی، زمین شناسی و اخترشناسی) و همچنین برخلاف علوم اجتماعی (مانند اقتصاد، جامعه شناسی، روانشناسی، تاریخ و علوم سیاسی) که بررسی آنها نیازمند به علوم دیگری (مثل منطق و ریاضیات) است، برای اثبات گزاره های ریاضی نیاز به علوم دیگری نیست.(2)
 
در عین حال خود علم ریاضی برای اثبات دیگر علوم به کار می رود. مثلاً علم فیزیک که پیشاهنگ علوم طبیعی است برای اثبات تئوریهای خود از ریاضیات استفاده می کند. در میان علوم اجتماعی، علم اقتصاد بیشترین ارتباط با ریاضیات را به خود اختصاص داده است. پس از اقتصاد، رشته مدیریت نیز استفاده های فراوانی از ریاضیات در تحلیل مسائل خود می نماید. 

استفاده از ریاضیات در اقتصاد پس از تثبیت مکتب نئوکلاسیک با وسعت بیشتری پی گیری شد و پس از جنگ دوم جهانی بسیار تشدید شد؛ به گونه ای که کاربرد شدید ریاضیات در اقتصاد در مواردی به عنوان یک انقلاب در روش تعبیر می شد. 

با ملاحظه اجمالی برنامه های آموزش رسمی اقتصاد در دانشگاهها و همچنین با مشاهده مقالات علمی در این زمینه، فرایند وسیع ریاضی سازی در رشته اقتصاد پس از جنگ جهانی دوم آشکار می شود. زمینه ها و عوامل مختلفی را می توان برای وضعیت یاد شده مطرح نمود که یکی از مهمترین آنها طرح مقوله علمی بودن یا علمی نبودن اقتصاد در فضای پس از جنگ می باشد. ریشه بحث به معنا داری گزاره ها و معیار علمی بودن آنها برمی گردد که از دهه 1920 در قالب تفکر اثبات گرایان منطقی مطرح شد. در آن زمان در محافل علمی این امر تثبیت شد که هر معرفتی بخواهد علمی محسوب شود و یا اعتبار علمی بودن کسب کند، باید بتواند گزاره های خود را یا به صورت تجربی آزمون کند و یا به شکل ریاضی درآورد.(3) 

اصولاً یکی از نقشها و وظایف علمی اقتصاددانها، این است که فرضیات و قواعد مربوط به متغیرهای اقتصادی را بیان کنند و یکی از راههای ارائه این گونه بیانها استفاده از ریاضیات است. زیرا روابط مذکور را می توان در قالب مجموعه ای از الفاظ و جملات توصیف نمود و آنها را به شکل هندسی (نموداری) ترسیم کرد(4) و یا به صورت ریاضی صورت بندی نمود. 

بیان ادبیاتی و توصیفی برای همه قابل فهم است و از سادگی قابل توجهی برخوردار است. اما این ابزار در همه اوضاع و احوال پاسخگو نیست. از این رو در مواردی روش هندسی از آن کارآمدتر خواهد بود. اما گاهی پیچیدگی گزاره های مورد بحث و یا فراوانی متغیرها به گونه ای (مثلاً از 3 به بالا) می شود که تنها راه تجزیه و تحلیل آنها ابزار ریاضی خواهد بود. 

با وجودی که بسیاری از مباحث اقتصادی، سر و کار نزدیکی با ریاضیات دارند، اما چند موضوع ارتباط ملموس تری با آن دارند. یکی از این موضوعات مقوله اقتصاد سنجی است. دیگری الگوی تعادل عمومی است، تجزیه و تحلیل داده ها و ستانده ها، برنامه ریزی خطی، تئوری بازیها، کاربرد منحنیهای بی تفاوتی و موارد مشابه از دیگر زمینه های ارتباطی دقیق بین اقتصاد و ریاضیات محسوب می شوند. از میان دروس اقتصادی برخی مانند اقتصاد خرد، اقتصاد رشد، بخشهایی از اقتصاد منابع، اقتصاد انرژی، ابعادی از اقتصاد رفاه، همچنین موضوعاتی خاص در درون برخی گرایشها مانند مباحث تحقیق عملیات و کنترل تئوری، کاربرد وسیع تری از ریاضیات را به همراه دارند. 

در هر صورت کاربرد ریاضیات در اقتصاد، حداقل نوعی تحول در مطالعات مربوط به روشهای علمی در قالب یاد شده محسوب می شود. بنابراین اندیشمندانی که در تکامل این روش نقشی داشته اند، قابل تقدیر هستند. در عین حال هر نوع نگرش حاد به کاربرد ریاضیات چه به صورت بلند پروازی ریاضی سازی افراطی در اقتصاد و چه به صورت حمله کردن به کاربرد آن در اقتصاد و ریاضی زدایی از آن، موجب دشواریهای جدی می شود. این بحث همچنان فراگیر، جنجالی و باز می باشد. در بخشهای بعدی روند تکاملی کاربرد ریاضیات در اقتصاد و دشواریهای مربوط به آن اشاره می شود و سرانجام نکات کلیدی مقاله در یک جمع بندی کلی مورد تأکید قرار می گیرد.
 
2. مروری بر تحولات کاربرد ریاضیات در اقتصاد 
گروهی از طرفداران کاربرد ریاضیات در اقتصاد، عقیده دارند که از زمانی که اقتصاد به عنوان یک علم مطرح شده با کاربرد ریاضیات همراه بوده است. نکته ای که تذکر آن مفید به نظر می رسد، نقش ریاضی دانان و مهندسان در تکامل تئوری اقتصادی و در تدوین گرایش اقتصاد ریاضی است که در این بخش ملاحظه خواهد شد. به بیان دیگر، یک دلیل مستقل برای توجیه جهت گیری ریاضیاتی علم اقتصاد متعارف، انجام مطالعات زیادی است که توسط دو گروه مذکور در اقتصاد به وقوع پیوسته است. این امر، زمینه انتقاد دیگر اقتصاد دانانی که تمایل زیادی به کاربرد ریاضیات در اقتصاد ندارند را برانگیخته است.(5) 

اگر منشاء کاربرد ریاضیات را بر مبنای تکامل برخی از شعبات علم اقتصاد در نظر بگیریم، این موضوع سابقه ای طولانی دارد. مثلاً اقتصاد سنجی یکی از شعبات این علم است که در آن، استفاده قابل توجهی از ریاضیات می شود. تدوین این رشته به اواخر قرن 17 و اوایل قرن 18 و در چارچوب تلاش «چارلز داوینه»(6) برمی گردد. این در حالی است، که معروف است که علم اقتصاد ساخته و پرداخته اقتصاددانان کلاسیک (و بویژه آدام اسمیت) در قرن 18 میلادی است. 

چارلز داوینه مقوله ای به نام حساب سیاسی تعریف می کند که به معنای هنر استدلال نمودن با کمک اعداد و ارقام و نمودارها می باشد. گذشته از وی می توان از دکتر کنه نام برد، که در تکامل اقتصاد سنجی نقش قابل توجهی داشته است.(7) البته ذکر این نکته لازم به نظر می رسد که کاربرد عبارت «اقتصاد سنجی» در سال 1926 توسط «رنگر فریش»(8) آغاز شد. 

بطور اساسی تر و سازگارتر باید تلاش «کرنو»(9) را برای کاربرد ریاضیات در اقتصاد، حرکتی آغازین تلقی نمود، وی تاکید زیادی بر این امر دارد و در مواردی نوشته هایش در زمینه ریاضیات (در سال 1838)، بخشی از ادبیات اولیه بحث را تشکیل می دهد. کرنو در خود ریاضیات نیز تحولاتی به عمل آورد. وی نقش ریاضیات را محدود به بیان داده های آماری ندانسته، عقیده داشت که باید از ریاضیات در بررسیهای واقعی روابط میان متغیرها استفاده نمود. برای وی این یک موضوع اساسی محسوب می شد. که چارچوبی از تئوری در اختیار داشته باشد که با واقعیتهای زندگی اقتصادی سازگار باشد. 

انتشار نوشته های «والراس»(10) در سال 1870 و بویژه کتاب علم اقتصاد محض وی در سال 1874 نوشته های «پارتو» در سال 1893 و مقاله «جان نیومن»(11) در سال 1928 را می توان اولین مجموعه ای دانست که در کاربردهای جدید ریاضیات در اقتصاد تدوین شده است. «پارتو»(12) به همراه «فرانسیس اجورث» (1926-1845F.Y.Edgeworth, ) منحنی بی تفاوتی را طراحی کرد، که آن هم قدم دیگری در تکامل اقتصاد ریاضی محسوب می شود. 

گذشته از اینها، ایرونیگ فیشر (1947-1867I. Fisher, )، ریاضیدان و اقتصاددان معروف نیز، تز دکتری خود را تحت عنوان «ارزیابی ریاضی نظریه ارزش و قیمت» در سال 1892 منتشر ساخت که این نیز تلاشی دیگر در تکامل اقتصاد ریاضی محسوب می شد. همچنین گوستاو کسل (1945-1866K.J. cassel, )، تین برگن(Tinbergen)، جان هیکس(J. Hicks)، موریس آلیس(M. Allais)، ساموئلسون(Samuelson)، جان نش(J. Nash)، تجالینگ کوپمنز(T.C. Koopmans) و امثال آن نیز در تحولات این رشته نقش داشته اند. تین برگن در سال 1930 مدلهای جدیدی در زمینه اقتصاد سنجی طراحی کرد و جان هیکس نیز کتابی منتشر ساخت که قدم جدیدی در این عرصه محسوب می شود.(Hicks: 1939) 

قابل توجه است که اگر چه ریشه تحولات اقتصاد ریاضی به اروپا مربوط می شود، اما گسترش آن عمدة در آمریکا صورت گرفت. زیرا در آمریکا برای حل مشکلات اقتصادی خود، تلاش می کردند که از تکنیکهای ریاضی، استفاده بیشتری به عمل آورند. «پل داگلاس» و «چارلز کاب» به دنبال طراحی تابع تولید مخصوص خود قدم دیگری در تکامل کاربرد ریاضیات در اقتصاد برداشتند.(13) استفاده از تکنیکهای رگرسیونی برای برآورد شاخصهای اقتصادی، استفاده از تئوری احتمال و تئوری بازیها(14) بخش دیگری از ادبیات موضوع را تکامل بخشیدند. 

کاربرد ریاضیات در مقوله اقتصاد رفاه، اقتصاد بین الملل، الگوسازی در پول و بانکداری، تحلیل مسأله اشتغال در بازار کار، آزمون تئوریهای اخیر، محاسبات وسیع کامپیوتری، پیچیده تر شدن رفتار متغیرهای اقتصادی نیز باعث گسترش بیشتر این رشته شده است. در عین حال در ارتباط با ارزش گذاری اعتبار ریاضیات و میزان و قلمرو کاربرد آن در اقتصاد، بین صاحب نظران اقتصادی، اختلاف نظر قابل توجهی وجود دارد که در بخش بعدی به برخی از آنها می پردازیم.
 
3. مسائل و دشواری ها 
در این بخش ضمن پرداختن به فوائد مربوط به کاربردهای صحیح ریاضیات در اقتصاد به مشکلات استفاده نامناسب از آن نیز اشاره می کنیم. اصولاً ریاضیات اگر به عنوان یک ابزار علمی مورد استفاده اقتصاد قرار گیرد و به صورتی سازگار با ماهیت خود و اهداف اقتصادی ملاحظه شود. منافع بسیار زیادی در اقتصاد دارد. مثلاً قبل از طراحی رشته اقتصاد سنجی، از آمار و ریاضیات بطور مستقل استفاده می شد و منافع زیادی از این روشها حاصل نمی شد. اما با وجود ایجاد یک شعبه از اقتصاد ریاضی یعنی اقتصاد سنجی(15) (که نوعی تجزیه و تحلیل آماری و ریاضی تئوریهای اقتصادی است.) منافع مربوطه چند برابر می شود.(16) اصولاً اقتصاد سنجی جهت نزدیک کردن مطالعات تئوریک اقتصادی با واقعیتهای جامعه، مقوله ای کارساز می باشد. 

عنوان دیگری که در قالب استفاده از ریاضیات در اقتصاد به میزان وسیعی مطرح است، تعادل عمومی است، که با شیوه خاصی به بررسی روابط بسیاری از متغیرهای اقتصادی می پردازد. در قالب تعادل عمومی مجموعه ای از روابط پیچیده ریاضی برای تحلیل عناصر اقتصادی بکار می روند. 
تجزیه و تحلیل داده ها و ستانده ها از عناوین دیگری است که کاربرد دقیقی از ریاضیات در اقتصاد را نشان می دهد. این تجزیه و تحلیل، در واقع عصاره و روح تعادل عمومی را در یک قالب ساده شده مطالعات تجربی ارائه می نماید. از این رو شاید بتوان آن را شکل خاصی از تعادل عمومی تصور کرد. ضمنا کاربرد تجزیه و تحلیل داده و ستانده در جوامع با نظام متمرکز بیشتر از دیگر نظامهای اقتصادی می باشد. همچنین تئوری بازیها، برنامه ریزی خطی و امثال آن از دیگر زمینه های بسیار مهم و کارساز در کاربرد ریاضیات در اقتصاد هستند. تئوری بازیها مطالعه رفتار تصمیم گیرندگان مستقلی را به عهده دارد که منافع آنها به برخورد همکارانه یا غیر همکارانه رقبای آنها بستگی دارد. (Shubick, 1983) برنامه ریزی خطی یک تکنیک بهینه یا بی می باشد که اولین بار در سال 1947 توسط «دانت زیگ»(Dantzig) پیشنهاد شده، هر چند قبل از وی جان نیومن و کانترو ویچ زمینه های اولیه آن را ترسیم کرده بودند.(Luenberger, 1984) 

بی توجهی به انتظار واقعی از ریاضیات و کاربرد ناسازگار آن باعث شده که در حال حاضر توافقی فراگیر در مورد کاربرد آن در اقتصاد وجود ندارد. به بیان دیگر اگر ریاضیات به عنوان یک ابزار در اقتصاد بکار رود، می تواند کارایی مطالعات مربوطه را بالا ببرد. اما اگر «هدف» قرار گیرد، مشکل ساز است. به قول صاحب نظر معروف اقتصاد ریاضی آلفا چیانگ، اقتصاد ریاضی رشته مستقلی نبوده، بلکه یک نگرش محسوب می شود. برخی عقیده دارند که ریاضیات به موضوعات مورد بررسی جلوه فنی می دهد. بنابراین در علومی مثل فیزیک، شیمی و اخترشناسی و سایر علوم طبیعی قابلیت استفاده زیادی دارد، زیرا رفتار پدیده های علوم مذکور عمدة تابع قوانین دقیقی هستند. 

اما ریاضیات در علوم اجتماعی که در قالب آنها، رفتار انسانی و اجتماعی محور اصلی است، کاربردی زیادی ندارد. زیرا رفتارهای یاد شده تابع قوانین دقیقی نخواهند بود. دیگر این که، با وجودی که روابط انسانی تحت تأثیر متغیرهای زیادی قرار می گیرند، اما عناصر ریاضی در قالبهای معینی، تعریف می شوند. بدیهی است، اگر انتظار از ریاضیات درست تعریف شود، بحث فوق مطرح نخواهد بود. زیرا در آن صورت ریاضیات صرفا برای ساده کردن و شفاف ساختن تئوریهای اقتصادی است و نباید از ریاضیات انتظار تئوری سازی داشت.(17) 

یک هشدار دیگر در مورد کاربرد ریاضیات این است که معمولاً در قالب آن، عناصر ساده و قابل اندازه گیری قرار می گیرد، در نتیجه در مطالعه مربوط به آن، بسیاری از روابط پیچیده و غیر کمی با وجود اهمیت زیادی که دارند، ممکن است کنار گذاشته شوند. بحث دیگر، خلط ابزار و هدف در کاربرد ریاضیات می باشد. باید توجه داشت که هدف از کاربرد ابزار ریاضی، کشف قوانین مطابق با واقع در اقتصاد است، و نه ظاهر سازی و علم نمایی.(18) 

خلط جنبه فنی با جوانب سیاسی اجتماعی، از دیگر هشدارهای مورد توجه در این رابطه است. اصولاً اقتصاد دانان در کاربرد ریاضیات با علائم و فرمولها و اعداد سر و کار دارند. بنابراین ممکن است، در مواردی از واقعیات اجتماعی سیاسی جامعه دور افتند. به عنوان مثال سیاست گذاران اقتصاد ایران در دوره 8 ساله پس از جنگ با کاربرد شاخصها و اعداد نشان می دهند که اقتصاد، با استفاده از نسخه تعدیل اقتصادی از صندوق بین المللی پول، فرایند پویا و موفقی داشته است. ولی این همه معضلات اقتصادی، اجتماعی، سیاسی و فرهنگی که عمدة حاصل عملکرد دولتمردان آن دوره است، چگونه توجیه می شود.(19) به نظر می رسد در طراحی مدل تعدیل اقتصادی برای ایران به ساختارهای اصلی اقتصاد کشور توجه کافی نشده است. 

جلوه کمی و علمی دادن به تئوری اقتصادی، از دیگر زمینه های کاربرد ریاضیات در اقتصاد است. برخی از اقتصاد دانان علاقه دارند، که امور تئوریک را به صورت کاملاً کمی جلوه دهند. ایروینگ فیشر که مولف اولین کتاب اقتصاد ریاضی نیز محسوب می شود، تصریح می کند، تا تئوری اقتصادی، منجر به تجزیه و تحلیل کمی نشود بی فایده است و ریاضیات این قدرت تحلیل را دارد.(20) 

گویی کمّی کردن تئوریها و جلوه ریاضیاتی دادن به آن، علمیت و اعتبار علمی نیز برای آن به همراه داشته است. همچنین عده ای طرح کاربرد وسیع ریاضیات از نظر گالیله را به تمام رشته ها سرایت می دهند.(21) لئونتیف نیز تاکید زیادی دارد که امور اقتصادی را کمّی نماید و اختراع دستگاه داده ستانده توسط وی، نمونه این امر است. در عین حال کار وی بسیار ارزشمند است و ریاضیات را در جایگاه مناسب خود به کار برده است. 

با وجودی که طراحی تئوریها با استفاده از ریاضیات، جنبه فنی به آن می دهد و برای ساده سازی آن مفید است، اما دو مطلب را در این مورد باید در نظر داشت: یکی این که این امر لزوما اعتبار علمی برای مطالعه مذکور به همراه ندارد، زیرا علمی بودن به انسجام و روشمندی و سازگاری محتوا و دارا بودن قابلیت بررسی و غیر جانب دارانه بودن و امثال آن مربوط است و این لزوما با ورود ریاضیات تأمین نمی شود. دوم این که اصولاً برخی از عناصر اقتصادی، قابلیت کمی شدن ندارند. مثلاً بسیاری از ابعاد انگیزه های کارگزاران اقتصادی و اهداف اصلی برنامه ریزان اقتصادی و بسیاری از نهادها و سنتهای اقتصادی و اندیشه ها و عقاید اقتصادی از این نمونه است. 

ذکر بیانی از ماکس وبر در این رابطه مفید به نظر می رسد. وی تصریح می کند که: علوم طبیعی مبتنی بر ریاضیات، بر دو عنصر متکی است: یکی همان تفکر عقلانی است که از فلسفه یونان نشأت گرفته و دیگری آزمون تجربی است که مربوط به دوره رنسانس است.(morishima, 1984) اشاره به این امر توسط (وبر) که خود صاحب نظر متدلوژی در علوم اجتماعی است، قابل تأمل است. به بیان دیگر این گونه نیست که تمامی ابعاد استفاده از ریاضیات در اقتصاد از یک ضرورت واقعی شکل گرفته و روندی طبیعی و سازگار داشته باشد. والراس و مشکلات تئوری «اقتصاد محض» 

ریشه برخی از مسائل یاد شده، به تصویر اقتصاد به عنوان یک علم تجربی و طبیعی برمی گردد که عمدة از زمان والراس آغاز شد. والراس به خاطر تجربی ساختن علم اقتصاد بطور وسیع از ریاضیات استفاده می کند. او در ترسیم اقتصاد محض، گویی از فیزیک محض سخن می گوید. 

والراس در یک جا می گوید: در اقتصاد محض، باید فرض کنیم، بازار کاملاً رقابتی است. همانطور که در مکانیک محض فکر می کنیم، هیچ نوع اصطکاکی وجود ندارد. اقتصاد نیز همانند نجوم و مکانیک، علمی تجربی و عقلانی است.(Ibid) ساموئلسون، کوپمانزو استیون نیز تصریح می کنند که: اقتصاد با مطالعه پیرامون تجربیات ارتباط دارد همانطور که فیزیک یا زیست شناسی نیز چنین هستند.(Ibid) 

بدیهی است علم محض والراسی با وجود منافع علمی، کاربرد قابل توجهی در جهان واقعی ندارد. البته پرفسور «ارو» و همچنین پرفسور «هان» تصریح می کنند که حتی 70 سال پس از مرگ والراس هم هنوز اقتصاد تبدیل به علم محض نشده است.(Arrow, 1988) اساسا تجسم اقتصاد محض والرسی، همان الگوی تعادل عمومی رقابتی وی است که جنبه غیر واقعی دارد و به همین خاطر از دهه 1960 به بعد تلاشهای زیادی برای تعدیل و یا جایگزینی آن به عمل آمده است. در الگوی مربوطه فرض می شود که کلیه قیمتها در بازار به صورتی آزادانه تعیین می شوند. بدیهی است، این فرض، حتی در بخش وسیعی از بازارهای کشورهای پیشرفته نیز واقعیت ندارد تا چه رسد به اقتصاد دیگر کشورها. این است که الگوی والراسی عملاً به صورت یک مدینه فاضله، قابل ذکر است و در بسیاری از کشورها اساسا کاربرد ندارد. 

اگر قرار باشد، قضایای ریاضی در تحلیل اقتصادی، جنبه واقعی داشته باشند، باید این قضایا با شرایط اقتصادی جامعه مورد نظر سازگار باشند. به همین خاطر جدول داده ستانده در یک کشور سوسیالیستی با یک نظام سرمایه داری و یا اسلامی تفاوت دارد. جالب توجه است که پیچیدگی جهان واقعی به گونه ای است که حتی در درون نظام سرمایه داری چندین زیر نظام وجود دارد که با هم تفاوت جدی دارند. نظام سرمایه داری در ژاپن با نظام سرمایه داری در انگلستان تفاوت دارد مثلاً نظام سرمایه داری در آلمان با نظام سرمایه داری در آمریکا متفاوت است.(ر.ک: دادگر، 1380: صص 26-6) 

همین طور در کشورهای سوسیالیستی و اسلامی نیز زیر نظامهای مختلفی وجود دارند. نگرش اسلامی در مالزی و پاکستان، با نگرش اسلامی در ایران و مصر تفاوت دارد. دیدگاه اسلامی در افغانستان با نگرش اسلامی در لبنان متفاوت است. گرایش سوسیالیستی در چین با روسیه یکسان نیست. اندیشه سوسیالیستی در کوبا با کره شمالی یکسان نیست. بنابراین عقلایی نیست به دنبال کاربرد یک الگوی ریاضی جهان شمول جهت کاربرد در یک تئوری اقتصادی باشیم. 

اصولاً کاربرد نامناسب هر ابزار و استفاده از آن بیش از توان واقعی اش دارای بازدهی نهایی منفی خواهد بود. در بسیاری از کشورهای غربی و بویژه در دنیای آنگلوساکسون کاربرد ریاضیات در اقتصاد بطور وسیعی بالاتر از ظرفیت علمی آن است. اما ابزار ریاضی در چین و ژاپن و تا حدودی در روسیه و حتی در آلمان و فرانسه، به میزان کمتری حاکم شده و لذا دشواری زیادی به همراه ندارد.(22) 

البته در صورتی که صاحب نظران اقتصادی و ریاضی، ابتدا به مطالعه عمیق و همه جانبه جامعه مورد نظر بپردازند و اطلاعات لازم در امور اجتماعی نهادی، فرهنگی و حتی امور تاریخی آن بدست آورند، سپس از الگوهای ریاضی در طراحی امور اقتصادی استفاده کنند، این امر هم موجب پیشرفت مطالعات اقتصادی می شود و هم زمینه گسترش قضایا و قواعد ریاضی را فراهم می کند. لئونتیف در مقاله ای که به افتخار «ویلارد جیبس» ریاضیدان معروف ارائه می دهد، تصریح می کند که ریاضیات می تواند در مواردی از طراحی و پاسخگویی به مشکلات اقتصادی،
به گسترش قواعد خود نیز بپردازد.(Leontief, 1954) 

اصولاً برخی از مواد اقتصادی قابلیت کمی پذیری ندارند، از این رو در قالب انتظار از کاربرد ریاضیات در این جا مشکل مضاعفی بروز خواهد کرد. موادی چون بررسی اندیشه ها و عقاید اقتصادی، مطالعه برخی از نهادهای مربوط به نظامها و اهداف تصمیم سازان و مجریان اقتصادی از این قبیل هستند. حتی زمانی که اقتصاد دان بتواند یک مدل تعادل عمومی صحیح را پی ریزی کند، اما فاقد پشتوانه نهادی کافی باشد (بطوری که نتوان نتایج آن را در یک وضع واقعی مشاهده کرد)، اعتبار علمی نخواهد داشت. بدیهی است، با توجه به این که یک تئوری مانند تعادل عمومی کل اقتصاد را به مثابه یک مجموعه به هم مرتبط طراحی می کند، در صورتی که با واقعیات جامعه مورد نظر، سازگار باشد، حرکت قابل توجهی است.
 
سازگاری دیدگاه لئونتیف 
لئونتیف در طراحی مشکلات و مسائل اقتصاددانان از منظر ریاضیدانان، مهارت جالب توجهی دارد. وی که از دیگر سردمداران کاربرد ریاضیات در اقتصاد است، در عین حال آن را کارآمدتر از دیگران استفاده کرده است. او می گوید: در هر نظام اقتصادی یک سلسله داده وجود دارد، مقداری منابع انسانی و غیر انسانی، میزانی اطلاعات فنی، یک سری اهداف و ترتیبات در مورد مصرف کننده، یک چارچوب نهادی مثل بازار و امثال آن. بر اساس آنها می توان رفتار یک سری مجهولات مثل تولید، بیکاری، قیمت، سرمایه گذرای و غیره را مورد مطالعه قرار داد.(Ibid) 

بخش اخیر می تواند، از طریق ریاضیات استخراج شود. به این خاطر است که اقتصاد دانان و ریاضی دانانی چون «دانیل برنولی»، «کرنو» و «دوپویی»(Dupuit) توانسته اند زمینه های استخراج تئوری تعادل عمومی را فراهم آورند.(Ibid)(23) 

لئونتیف نیز بر تجربی بودن و آزمون پذیری تئوریها تاکید می کند و طبق عقیده وی تنها در این راستاست که می شود به کارکرد تئوریهای اقتصادی اطمینان داشت. از این رو با کمک ریاضیات به عملیاتی کردن ریزترین عناصر اقتصادی مبادرت می نماید. طبق نظر وی اقتصاد دان باید ابتدا هدف خود را به صورتی شفاف بیان کند. هدف، گاهی امری اثباتی، و گاهی ماهیت دستوری دارد. 

مثلاً اقتصاددان باید منظور خود را از این که هدف، رفتار عقلانی است روشن کند. آیا این است که افراد عقلانی رفتار می کنند و یا باید عقلانی رفتار کنند. بدیهی است در حالت اول، نیاز به تجربه است. ولی در وضعیت دوم تنها یک امر هنجاری و دستوری مورد نظر است و نیاز به تجربه نیست. زیرا ریاضیات می تواند، به شکل اصل موضوعی به صورت یک هدف آرمانی مورد استفاده اقتصاددان قرار گیرد. مثلاً ممکن است، معنای عدالت در یک جامعه این باشد که برای همه حداقل رفاه فراهم شود. و حداقل مربوطه به صورت مجموعه ای از مواد خوراکی و پوشاکی و مسکن و آموزش و بهداشت تعریف شود. بدیهی است این امر ماهیتا امری هنجاری است، ولی با کمک ریاضیات می توان آن را به سادگی بیان کرد. ملاحظه می شود که لئونتیف کاربرد ریاضیات در اقتصاد را محدود به عناصر و چارچوبهایی می داند.
 
دیگر مسائل کاربرد نامتناسب ریاضیات در اقتصاد 
بدیهی است، برخی از عناصر که تحلیل کمّی برنمی تابند، در مقابل تجزیه و تحلیلهای مبتنی بر روابط تابعی دقیق (که در قالب آن متغیرهای مربوطه جنبه کمی و ریاضی پیدا کنند.) مقاومت می کنند. اصرار بر ریاضی سازی امور ناسازگار غلط انداز و مشکل آفرین می باشند. شاید به خاطر همین تسلط غیر طبیعی روش ریاضی در اقتصاد باشد که تا زمان بروز نظریه کینز، تنها تئوری قیمت و اقتصاد خرد، قلب اقتصاد محسوب می شدند، زیرا فقط اینها در قالب الگوی ریاضی استخراج شده بودند. 
 
نگرش جهان شمول و سیطره غیر سازگار روش ریاضی در اقتصاد ممکن است تنها به ارائه ظواهری سیستماتیک از عناصر اقتصادی بسنده کند و الگوهای زیبا و سازگاری (از نقطه نظر ریاضی) بدست دهد، اما قادر به حل و فصل هیچ مشکل واقعی در اقتصاد نباشد. یعنی یک طمطراق ظاهری و پرستیژی از علم محض حاصل شود، ولی بسیاری از مسائل و عناصر اصلی و واقعی کنار گذاشته شود. وانگهی با وجود این نارسایی در بسیاری از محافل، کاربرد روش ریاضی به صورت معیاری جهت ارزشمندی مطالعات مربوطه درآمده است. 

باید توجه داشت که با وجود ظرفیت قابل توجه اقتصاد، برای کاربرد ریاضیات و با وجود نقش ارزشمند ریاضیات در ساده سازی امور اقتصادی، در عین حال، اقتصاد، فیزیک نخواهد شد و روشهای آماری و ریاضی جانشین تمامی امور توصیفی در اقتصاد نخواهند شد. هنجارها، مبانی عقیدتی و اخلاقی و گرایشات روحی انسان بر رفتار وی تاثیر می گذارد که در نتیجه بر امور اقتصادی مؤثر خواهد بود، اما در عین حال در همه حالات و شرایط قابلیت ارائه در یک رویکرد ریاضی را ندارند. 

از دیگر دشواریهای کاربرد نامتناسب ریاضیات در اقتصاد خلط، ابهام و غموض مربوطه با عمق و دقت مورد نظر می باشد. کاربرد ریاضیات در اقتصاد (همانطور که قبلاً نیز اشاره شد)، سهولت و دقت می آورد، ولی نمی تواند به مدلهای اقتصادی حقیقت، درستی، صداقت و شفافیت عطا کند. از این رو گاهی صداقت و حقیقت فدای سهولت و زیبایی ظاهری می شود. اصولاً ریاضیات بر اساس مفروضاتش و با توجه به تعاریف و شرایط مربوطه، به روشن تر ساختن درک امور مربوط به تئوری اقتصادی مبادرت می ورزد ولی چیز دیگری استخراج نمی کند. 

قابل ذکر است که کاربرد ناسازگار ریاضیات در اقتصاد به حوزه اقتصاد نئوکلاسیک محدود نشده و حتی در مطالعات مربوط به اقتصاد اسلامی نیز سرایت کرده است. مطالعات یاد شده با وجودی که مراحل اولیه خود را می گذرانند و هنوز به مراحل طراحی دقیق مربوط به مبانی معرفت شناسی و روش شناسی نرسیده اند، در عین حال به دلیل همان اهداف ظاهری و علم نمایی، گاهی از پیچیده ترین ابزار ریاضی برای بیان تئوری مورد نظر استفاده می کنند.(دادگر، 1378: صص 40-25) با وجودی که کاربرد ریاضیات در معرفت اقتصاد اسلامی نیز می تواند مفید واقع شود، ولی کاربرد نامتناسب، مطالعه نشده و افراطی آن در رشته مذکور زیان مضاعفی خواهد داشت. زیرا ضمن دربرداشتن زیبایی ظاهری و طمطراق علم نهایی، به خاطر وجود مبانی وسیع ارزشی در اسلام (و هر نگرش دینی دیگر)، واقع نمایی و عمق مدلهای یاد شده بسیار کم خواهد بود. 

در هر صورت این هشدارها نباید به منزله کم اهمیت جلوه دادن نقش ریاضیات در اقتصاد تلقی شود، بلکه تنها برای بهره برداری دقیق تر و سازگاری علمی آن می باشد، زیرا کاربرد ریاضیات در اقتصاد (چه اقتصاد نئوکلاسیک بطور خاص و چه اقتصاد متعارف بطور عام و حتی اقتصاد اسلامی و غیر آن) در برخی زمینه ها اجتناب ناپذیر و ضروری می باشد.
 
4. نتایج قابل ملاحظه 

در این جا فهرست وار به نوعی جمع بندی از ارتباط ریاضیات و اقتصاد می پردازیم. 
1- اصل استفاده از ریاضیات در علوم بطور کلی و علم اقتصاد بطور خاص، مفید و تسهیل کننده می باشد و از این رو مورد توجه و تاکید صاحب نظران اقتصاد نیز می باشد. 

 
2- استفاده اقتصاد و ریاضیات از یکدیگر جنبه دو طرفه دارد. به این صورت که از یک طرف اقتصاد برای الگوسازی، نظریه پردازی، ترسیم اصول موضوعه، شفاف سازی مفاد تئوریهای خود و امثال آن از ریاضیات استفاده می کند و از طرف دیگر ریاضیات نیز در فرایند ارتباط و همکاری با اقتصاد به گسترش قواعد خود پرداخته است. به این صورت که تفکر بر روی حل و فصل مشکلات اقتصادی و ایجاد پرسش در آن باعث شده که ریاضیات در پاسخ به آن، قواعد جدیدی استخراج نماید. معروف است که برنامه ریزی خطی در ریاضیات به دنبال ضرورت مطالعات اقتصادی تدوین شده است. وانگهی عقلانیت اقتصادی نیز در بهینه سازی ریاضی مؤثر بوده است. زیرا برای توجیه حداکثر منافع در اقتصاد، مدلهای ریاضی و قواعد جدیدی در این رابطه بدست آمده است. 
 
3- حل و فصل مشکل ایجاد ارتباط میان مفاهیم تئوریک و کاربردی در اقتصاد (ایجاد ارتباط بین نظریه و عمل و تحلیل آن)، ساده شدن درک
مفاهیم اقتصادی، عملیاتی کردن ارتباط متغیرهای اقتصادی، آزمون تئوریها و موارد مشابه از نقشهای مهم دیگری است که ریاضیات می تواند در کنار اقتصاد ایفا کند. 

4- زمانی که بتوان قواعد و قوانین اقتصادی و فرضیات مربوطه را به صورت ریاضی بیان کرد، دقت خاصی بر مطالعه مورد نظر حاکم می شود و این روند می تواند منشأ استخراج نتایج دقیقی گردد. البته در مواردی که بررسی روابط مورد نظر پیچیدگی خاص دارند، شیوه های ادبیاتی و حتی هندسی، پاسخ قانع کننده ای ارائه نمی دهند و ریاضیات تنها راه حل ارزیابی علمی در اقتصاد می شود. 

5- یکی از زمینه های کاربرد ریاضیات در اقتصاد، مقوله اقتصاد سنجی است که در صورت وجود آمار واقعی و مبانی تئوری اقتصادی قوی، می تواند
در عملیاتی کردن بسیاری از رفتارها، نقش جدی داشته باشد. 

6- پیمودن راه افراط و تفریط در کاربرد ریاضیات در اقتصاد، امری ناپسند و ناکار آمد است. از این رو بلند پروازی در کاربرد مذکور و یا حمله شدید و بنیان برافکن در این رابطه، غیر معقول و غیر علمی است. استفاده سازگار از این علم در اقتصاد بسیار مناسب است. 

7- باید توجه کرد که ریاضیات مانند گذشته به صورت یک ابزار در کنار اقتصاد محسوب گردد و ورود آن به مقوله هدف می تواند دشوار آفرین باشد. اصولاً ریاضیات ساده سازی می کند ولی نظریه پردازی کار ریاضیات به تنهایی نیست. 

8- باید ملاحظه کرد که همه رفتارها و عناصر اقتصادی، در همه شرایط قابلیت کمی شدن ندارند و در نتیجه اصرار بر کاربرد ریاضی در این حوزه ها صرفا نشانه استفاده از منافع شکلی و پرستیژی می باشد. 

9- ساده سازی ریاضی نباید باعث تحت الشعاع قرار گرفتن اهداف مهم اقتصادی و همچنین فراموش کردن عناصر پیچیده در رفتار انسانی شود. شاید بتوان پیروزی انسان بر کامپیوتر (در مسابقه اخیر شطرنج) را نمودی از این پیچیدگی انسان و ابزاری بودن ریاضیات تلقی نمود.(24) 

10- گروهی از اقتصاد دانان بر کاربرد ریاضی بسیار تاکید می کنند و گروهی دیگر بر آن اصرار ندارند. دو اقتصاد دان معروف یعنی کینز و مارشال که هر دو در عین حال از ریاضیدانان صاحب نام نیز هستند، در اکثر تحلیلهای خود از ریاضیات استفاده نکرده اند. این امر لزوما نه مدح آنان محسوب می شود و نه ذم آنان است. 

11- کاربرد ریاضیات، لزوما بیانگر علمیت مطلب مورد نظر نیست. 

12- کاربردهای شکلی و علم نمایی ریاضیات اخیرا در متون مربوط به اقتصاد اسلامی نیز وارد شده، بر محققان این رشته است که تعادل در مطالعات آن حوزه را نیز حفظ نمایند.
منابع و پی نوشت ها....

منابع 
1 - دادگر یداللّه، تحولات اقتصاد سرمایه داری و قرائتهای گوناگون آن، نشریه پژوهشهای اقتصادی، پژوهشکده اقتصاد دانشگاه تربیت مدرس، سال اول، شماره 2، تابستان و پاییز 1380. 
2 - ، تحلیلی کلی از اقتصاد ایران، نشریه نامه مفید، سال 1377، شماره های 15 و 16. 
3 - ، نگرشی بر اقتصاد اسلامی، انتشارات دانشگاه تربیت مدرس، 1378. 
4 - دونالد مک لاسکی، خطابه علم اقتصاد، ترجمه: یداللّه دادگر و حمید اشرف زاده، نشریه نامه مفید، سال ششم، شماره 23. 
5- Bhatia, H.I., History of Economic thought, Vikas publishing house, 1992. 
6- Dorfman, Robert, Application of linear programming to the theory of the firm, Berkeley 1951. 
7- Friedman M. and A.schwarts, Alternative Approuches to Analysing Economic data, American Economic Review 81(1), 1991. 
8- Hicks, John, vaLUE and capital, Blackwell, 1939. 
9- K.j. Arrow and H.frank Hahn.General competitive Analysis, North HOll and 1988. 
10- Keisler, H.T., Mathematical logic and computability, Mcgrawhill, 1996. 
11- Luenberger D.E(1984) cintroduction to linear programing addison wesley. 
12- Marchi, D., post poperian Methodology of Economics london, klower 1993 
13- Morishima, M., the good and bad uses of Mathematics. Blackwell 1984. 
14- Newman John and Oskar Morgenstern, theory of games and Economic behavior, princeton University press 1953. 
15- Rosenberg, A., Mathematical politics or science of Diminishing Returns.? chicago University press, 1992. 
16- W. Leontief, mathematics in Economics, Mathematical society, vol 60, 1954. 
17- Wald, A., on some systems of Equations of mathematical Economics, Economica, Vol 19, 1951. 
18- Windsor-preston, Rules of the game in the global Economic regimes, Klower Acadenic publisher 1992. 
19- chiang, Alpha, fundamental methods of mathematical Economics, Mcgrawhill, 1984. 
20- chow, G.C, Econometrics, Mcgrawhill 1988. 
21- koopmans, Tjalling, statistitical inference in dynamic Economic models, willey, Newyourk, 1950. 
22- leontief, W., input-output Economics, New york 1966. 
23- leontief, wassily, Essays in Economics, oxford university press 1966. 
24- shubick, M., game theory in the social sciences. MIT, Press 1982. 
25- shubick. M(1983), game theory in the social sceinces cambridge (MIT press.) 
26- stigler, Geoge, the mathematics in Economics, macmillan 1950. 
27- walras, Leon, Elments of pure Economics, Irwing 1954. 
28- william spiegel, Henry, the growth of Economic thought, prentice hall 1971. 

 
پی نوشت:
1. استادیار گروه اقتصاد دانشگاه مفید 
2. شاید به همین دلیل است که برای علم ریاضی و علم منطق از واژه علم محض استفاده می شود و آنها را در زمره علوم اجتماعی، علوم انسانی
و علوم طبیعی قرار نمی دهند. 
3. اصولاً پس از جاافتادن نظریه اثبات گرایی اگوست کنت (August conte) عملاً نزدیکی رشته ها با ریاضیات و جدا شدن آنها از فلسفه ملاک
علمی بودن آنها مسحوب می شد. معروف است که اخترشناسی و فیزیک، اولین معارفی بودند که کاربرد ریاضی وسیع پیدا کردند و از این رو در مفاد کنت از اولین علوم محسوب شدند. 
4. بدیهی است زمانی می توان الگوی هندسی بکار برد که متغیرها از سه نمونه بیشتر نشوند. 
5. قابل ذکر است که از زمان کاربرد وسیع ریاضیات در اقتصاد (هنگام ظهور مکتب نهایی گرایی و بعد نئوکلاسیک ها)، اختلاف نظر در موضوع فوق نیز آغاز گردید. مثلاً لئون والراس (Leon walras) و پیروان او از مکتب لوزان (یکی از مکاتب نئوکلاسیک) طرفدار کاربرد شدید ریاضیات در اقتصاد بودند، اما در مقابل منگر (manger) و پیروان وی از مکتب اتریش (شعبه دیگر از نئوکلاسیک)، مخالف این مسأله بوده اند. 
6. چارلز داوینه (1714-1656charles Davenant - ) از بنیان گذاران مکتب مرکانتیلیسم است. 
7. دکتر فرانسیس کنه (1774-1694- F.quesnay) بنیان گذار مکتب فیزیوکرات می باشد. او در عین حال نقش زیادی در فراهم آوردن زمینه های تدوین علم اقتصاد در زمان کلاسیک ها داشته است. 
8. رنگر فریش (R. Friesh) اقتصاد دان معروف نروژی است که در سال 1969 اولین جایزه نوبل در اقتصاد را به همراه تین برگن بدست آورد. 
9 آگوستین کرنو (1877-1791A.cournot, )، ریاضیدان و فیلسوف فرانسوی است. 
10. لئون والراس (1910-1834)، ریاضیدان و اقتصاد دان مشهوری است که به همراه جونز و ملگر پدر مکتب نهایی گرایان نیز محسوب می شوند. کتاب علم اقتصاد محض وی در سال 1874 منتشر شد. 
مراجعه شود به leon walras Elements of Pure Economics Irwing 1954. 
11. جان نیومن (1957-1903J.Newman, ) ریاضی دان معروف در سال 1928 تئوری بازی ها را وارد اقتصاد کرد. وی در سال 1944 نیز با کمک
اسکار اقتصاد دان در تکامل بیشتر این رشته اقدام نمود. 
12. ویلفرد پارتو (1923-1848Vilfredo pareto, ) ریاضیدان و فیلسوف ایتالیایی است. 
13. تابع تولید کاب داگلاس (cobb-Douglas) بصورت Y=AKaLb می باشد، که Y بیانگر تولید، K و L عوامل و نهاده ها و A یک ضریب ثابت می باشد. در شرایط خاص جمع a و b یک می شود. 
14. تئوری احتمال بر مبنای شانس و تصادف است، ولی تئوری بازیها بر مبنای استراتژی است. 
15. هر چند در حال حاضر اقتصاد سنجی به صورت درس مستقلی ارائه می شود، ولی این امر با قرار گرفتن این درس در زیر مجموعه اقتصا
د
ریاضی در تعارض نخواهد بود. 
16 آندره مارشال (A. Marshall) اقتصاد دان فرانسوی، طرفداران روش ریاضی را قیاس گرایان و طرفداران روش آماری را استقراگرایان و طرفداران 
اقتصاد سنجی را مرکب از آن دو می نامد. 
17. آندره مارشال اقتصاد دان معروف فرانسوی بر اساس نظریه ریاضی دان و اقتصاد دان معروف پرفسور «الن» تصریح می کند که: ریاضیات می تواند فرمولها و تئوریها را شفاف سازد، ولی فرمول و تئوری سازی کار ریاضی نیست. 
18. ویکسل اقتصاددان معروف تصریح می کند که نباید حقیقت اقتصادی را فدای فرمول های ریاضی نمود. 
19. به عقیده ما بسیاری از دشواری های اقتصادی و نابسامانی های اجتماعی و سیاسی فعلی کشور نیز ریشه در کارکرد بلند پروازانه و بدون مطالعه کافی دولتمردان در 8 ساله پس از جنگ دارد. رجوع کنید به: دادگر، 1377 
20. ایروینگ فیشر (1947-1867) اصالتا ریاضی دان بود ولی بخاطر علاقه اش به اقتصاد مطالعات در آن رشته را نیز ادامه داد. وی نهایی گرا است و شومپیتر وی را به عنوان بزرگترین اقتصاد دان امریکا در زمان خود معرفی می کند. 
21. گالیله ریاضیدان معروف، جمله ای به این مضمون دارد که: چیزی در طبیعت نیست مگر آن که می توان آن را با ریاضیات نشان داد. البته بیان گالیله عمدة مربوط عناصر فیزیکی و طبیعی است و تمامی ابعاد زندگی انسانی را نمی توان با ریاضی نشان داد. 
22. جالب توجه است که ژاپنیها و چینیها، از ریاضیات خاص چینی و ژاپنی، سخن می رانند و دستگاهی چون کامپیوتر را چیزی جز «چرتکه مدرن»
نمی دانند و این نشانه ابزار انگاری آنها نسبت به تکنیکهای ریاضی است. 
23. اصولاً عرضه و تقاضا، ابتدا توسط «برنولی» (D. Bernoulli) تدوین شده است. برنولی ها یک خانواده فرهنگی هلندی بودند، که همگی صاحب نظر هستند. نزولی بودن مطلوبیت نهایی را پارتو ترسیم کرد. کرنو و دیگران نیز در تدوین دیگر اجزای تعادل عمومی نقش داشته اند. از این رو در واقع والراس را احیاءگر، و نه بنیان گذار تعادل عمومی باید تلقی کرد. 
24. اشاره به مسابقه شطرنج باز معروف «کاسپاروف» و پیروزی وی بر کامپیوتر در یکی از بازیهای شطرنج می باشد.

آی هوش: گنجینه دانستنی ها و معماهای هوش و ریاضی

نظراتی که درج می شود، صرفا نظرات شخصی افراد است و لزوماً منعکس کننده دیدگاه های آی هوش نمی باشد.
آی هوش: مرجع مفاهیم هوش و ریاضی و انواع تست هوش، معمای ریاضی و معمای شطرنج
 
در زمینه‌ی انتشار نظرات مخاطبان، رعایت برخی موارد ضروری است:
 
-- لطفاً نظرات خود را با حروف فارسی تایپ کنید.
-- آی هوش مجاز به ویرایش ادبی نظرات مخاطبان است.
-- آی هوش از انتشار نظراتی که در آنها رعایت ادب نشده باشد معذور است.
-- نظرات پس از تأیید مدیر بخش مربوطه منتشر می‌شود.
 
 
 
 

نظر شما

پرطرفدارترین مطالب امروز

قواعد بخش پذیری بر اعداد  1 تا 20
سیستم عدد نویسی رومی
مجموعه تهی چیست؟
ضریب ‌هوشی 120 شرط جهش تحصیلی
گزاره چیست؟
طنز ریاضی: لطیفه های ریاضی!
اختلالات ریاضی و راه های درمان آن
بازی‌های شاد کودکانه: برای افزایش توجه و تمرکز از تولد تا نوجوانی
آموزش ریاضی: تدریس مفهوم کسر