«دختری از تبار ما»، اگرچه كتاب خوش‌نثری نیست و به یك ویراستاری مجدد هم نیاز دارد، اما چون به ذكر افتخارات علمی و شرح زندگی مریم میرزاخانی بسنده نكرده و كوشیده است به زبانی حتی المقدور ساده، از كارهای مهم آن «نادره نابغه» در عالم ریاضیات پرده‌برداری كند، كتاب ارزشمندی است.
نیمه اول كتاب البته زندگینامه مریم میرزاخانی است و تقریبا چیزی بیشتر از نوشته‌های مطبوعات و خبرگزاری‌ها در ایام پس از درگذشت ملكه ریاضی جهان ندارد. اهمیت كتاب در نیمه دوم آن است با عنوان «مروری بر دستاوردهای علمی مریم میرزاخانی».
كامران شهبازی، تحقیقات میرزاخانی را به سه دوره تقسیم كرده است:
«دورانی كه در ایران زندگی می‌كرد، یعنی پژوهش‌هایی كه در دبیرستان و دانشگاه صنعتی شریف انجام داده است... دوره تحصیل او در هاروارد... یعنی پژوهش‌هایی كه ضمن تحصیل در مقطع دكترا انجام داده است... دوران فارغ‌التحصیلی... یعنی پژوهش‌های او از سال ٢٠٠٤ به بعد، یعنی زمانی كه در مقام استاد ریاضیات به تدریس در دانشگاه‌های امریكایی پرینستون و استنفورد مشغول به كار بوده است.» در دوره نخست، میرزاخانی سه مقاله معتبر در نشریات ریاضی جهان منتشر كرده و با كمك دوستش، رویا بهشتی زواره، كتابی به نام «نظریه اعداد» برای آمادگی دانش‌آموزان در المپیاد ریاضی نوشته كه بارها تجدید چاپ شده است. اما اهمیت جهانی میرزاخانی برآمده از پژوهش‌های او در دوره‌های دوم و سوم است.
ماجرا از مرحوم اقلیدس آغاز می‌شود كه در قرن سوم پیش از میلاد، اصول بنیادین هندسه را تشریح كرد. وی در كتاب سیزده جلدی‌اش، پنج اصل را به عنوان اصول موضوعه هندسه تعیین كرد. مثلا این اصول:
١- از هر نقطه به هر نقطه دیگر می‌توان خط راستی رسم كرد.
٢- هر پاره‌خط راست را می‌توان بطور نامحدود امتداد داد.
٣- همه زوایای قائمه با یكدیگر برابرند.
یكی از اصول هندسه اقلیدس، اصل توازی است كه می‌گوید: «از هر نقطه‌ای كه خارج از یك خط مفروض باشد، یك و فقط یك خط راست می‌توان به موازات آن خط مفروض رسم كرد.» در قرن نوزدهم ریاضیدانان دریافتند كه می‌توانند از این اصل عبور كنند و هندسه‌های دیگری به وجود آورند كه به «هندسه‌های غیراقلیدسی» مشهور شدند. ابتدا لوباچفسكی این اصل را به جای اصل توازی پیشنهاد كرد: «از هر نقطه‌ای كه خارج از یك خط مفروض باشد، می‌توان حداقل دو خط موازی و در همان صفحه خط مفروض رسم كرد.» این اصل سنگ بنای هندسه هذلولوی شد. سپس جورج ریمان با این اصل هندسه بیضوی را پایه‌گذاری كرد: «از هر نقطه خارج از یك خط، نمی‌توان هیچ خطی موازی با خط اول رسم كرد.» اندازه انحنا در هندسه اقلیدسی صفر، در هندسه لوباچفسكی منفی و در هندسه ریمانی مثبت است. مجموع زوایای داخلی مثلث نیز فقط در هندسه اقلیدسی ١٨٠ درجه است؛ در هندسه لوباچفسكی كمتر از ١٨٠ درجه و در هندسه ریمانی بیشتر از ١٨٠ درجه است. بنابراین هندسه‌های هذلولوی و بیضوی (ریمانی) مربوط به سطوحی هستند كه دارای انحنا (مثبت یا منفی) باشند. در این هندسه‌ها، به علت همین انحنای اساسی، چیزی به نام «خط راست» وجود ندارد. به جای خط راست، خط ژئودزیك وجود دارد. یعنی در سطوح منحنی، كوتاه‌ترین فاصله میان دو نقطه را «خم ژئودزیك» می‌نامند. خم‌ها یا خطوط ژئودزیك به دو نوع ساده (كه با خود تداخلی ندارند) و بسته (كه خودشان را قطع می‌كنند) تقسیم می‌شوند. یكی از تخصص‌های میرزاخانی، هندسه‌های غیراقلیدسی بود.
كامران شهبازی می‌گوید: «از زمانی كه سطوح منحنی و كاربرد آنها در فیزیك كشف شده است، این سطوح مطالعات هندسه را به تصرف خود درآورده‌اند.» در دوران تحصیل میرزاخانی در هاروارد، چندین مساله مهم مرتبط با این سطوح انحنادار هنوز حل نشده بود. وی در رساله دكترایش سه مساله مهم هندسه غیراقلیدسی را حل كرد. ابتدا فرمولی ارایه كرد برای تعیین تعداد خم‌های ژئودزیك ساده و بسته در سطوح ریمانی‌ای كه عدد گونای آنها بالاست. عدد گونا تعداد حفره‌های یك سطح ریمانی را نشان می‌دهد. مثلا عدد گونای یك كره صفر، عدد گونای یك چنبره ١ و عدد گونای دو چنبره چسبیده به هم (چیزی شبیه علامت بی‌نهایت در ریاضی) ٢ است. سطوح ریمانی با عدد گونای بالای ١ را «سطوح هذلولوی» می‌نامند. محاسبات مربوط به تعیین تعداد خم‌های ژئودزیك ساده و بسته در سطوح هذلولوی دارای عدد گونای بالا، به علت انحنا داشتن این سطوح، چنان دشوار است كه ریاضیدانان در یكصد سال گذشته، نتوانسته بودند یك سطح هذلولوی دارای چند خم ژئودزیك بسته است. میرزاخانی در رساله دكترای خود به این مساله پاسخ داد. علاوه بر این به «دو مساله دشوار دیگر كه امان ریاضیدانان را بریده بود، پاسخ داد. » یكی از آن دو مساله، مربوط می‌شد به حجم تمام سطوح هذلولوی روی یك سطح معین یا حجم فضاهای پیمانه‌ای. شهبازی توضیح می‌دهد كه خود این مبحث فضاهای پیمانه‌ای یكی از دشوارترین مباحث ریاضیات جدید است.
مساله دیگری كه میرزاخانی در رساله‌اش آن را حل كرد، اثبات یكی از حدس‌های ادوارد ویتن – فیزیكدان مشهور – بود. تشریح جزییات این حدس و اثبات میرزاخانی، برای نگارنده به كلی ناممكن است ولی شهبازی می‌نویسد: «حدس ویتن آنچنان پیچیده و بااهمیت است كه در سال ١٩٩٨ برای ماكسیم كانتسیویچ، به خاطر اثبات آن، نشان فیلدز را به همراه آورده بود. البته برهان میرزاخانی آنچنان بدیع بود كه خود كانتسیویچ... اعتراف می‌كند كه اثبات میرزاخانی از اثبات او بسیار زیباتر است.» میرزاخانی ضمن اثبات حدس ویتن، «توانسته بود آن را به دو مبحث مجزای دیگر تعداد خم‌های ژئودزیك ساده در سطوح هذلولوی و تعیین حجم فضاهای پیمانه‌ای)، پیوند داده و از این رهگذر نور تازه‌ای بر تمامی آن حوزه‌ها» بیفشاند. شگفتی ریاضیدانان جهان از رساله دكتری میرزاخانی، ناشی از این بود كه «حل جداگانه هر كدام از آن مسائل كاری است بس دشوار و بی‌اندازه مهم، اما ربط دادن این سه با یكدیگر، امری است خارق‌العاده‌تر و مهم‌تر. » به همین دلیل، میرزاخانی در سال ٢٠٠٩ جایزه بلومنتال را بابت پایان‌نامه دكترایش دریافت كرد. این جایزه هر چهار سال یك‌بار به كسی اهدا می‌شود كه ارزشمندترین پایان‌نامه را در حوزه ریاضیات محض نوشته باشد.
میرزاخانی در دوران تدریس در دانشگاه‌های پرینستون و استنفورد، مقالات مهم دیگری نوشت كه اگرچه، با احتساب مقالات قبلی وی، تعدادشان چندان زیاد نبود (هفده مقاله در هفده سال: از ٢٠٠٤ تا ٢٠١٧)، اما كیفیت مقالاتش، به گونه‌ای بود كه تقریبا همه عناوین و جوایز مهم جهان ریاضی را درو كرد و او را با امی نوتر، ریاضیدان نابغه آلمانی مقایسه می‌كنند كه از نظر آلبرت اینشتین بزرگ‌ترین محقق زن در تاریخ ریاضیات بود. یكی از شاهكارهای پژوهشی میرزاخانی در دوره سوم زندگی علمی‌اش (دوران تدریس در دانشگاه)، حل مساله «خط سیر توپ بیلیارد» بود. الكس رایت، یكی از همكاران میرزاخانی، درباره مساله توپ بیلیارد می‌گوید: «این مساله صد سال پیش ایجاد شد. در آن زمان عده‌ای فیزیكدان دور هم جمع شدند و در نظر داشتند كه رفتار توپ بیلیارد در یك مثلث را بررسی كنند. آنها به خاطر ظاهر ساده این مساله، فكر می‌كردند احتمالا در یك هفته بتوانند به این مساله پاسخ دهند، اما اكنون صد سال گذشته و ما هنوز نتوانسته‌ایم آن را حل كنیم.»
میرزاخانی و همكارانش این مساله را در سال ٢٠١٣ حل كردند و دانشگاه استنفورد «شاهكار» آنها را «آغازگر دورانی تازه در ریاضیات» خواند. یكی از پیامدهای این موفقیت میرزاخانی، گام بلندی است كه ریاضیدانان می‌توانند در «توسعه سیستم‌های دینامیك» بردارند. در توصیف این كار میرزاخانی، گفته شده است: «گویی تا قبل از آن می‌خواستیم درخت‌های جنگل را با یك تبر كوچك قطع كنیم اما حالا اره برقی را اختراع كرده‌اند.»
شهبازی می‌نویسد: «دستاورد آنان {میرزاخانی و همكارانش} همین الان هم كاربردهای فراوان دارد. یكی از نمونه‌های آن فهم راستای دید نگهبانان امنیتی در اتاق‌های آینه‌ای و تودرتو است... در جهان علم رسم بر آن است كه ابتدا ریاضیات از دنیاهای ناشناخته كشف حجاب كرده و سپس علوم دیگر از جمله فیزیك كاربردهای آن را می‌یابند.» اهمیت كار میرزاخانی، مختصرا، عبارت بود از: ١- ابداع ایده‌های جدید و روش‌های تازه در حل مسائل ریاضی. ٢- ربط دادن شاخه‌های گوناگون ریاضیات به یكدیگر. وی توانست بین «حوزه‌هایی وحدت ایجاد كند كه تا پیش از وی عمیقا متفاوت از یكدیگر تلقی می‌شدند.» علت این توفیق ظاهرا این بود كه «او بر رفیع‌ترین قله ریاضیات نشسته بود و بر تمام حوزه‌های ریاضیات مسلط بود.»
به نظر شهبازی، دلیل اصلی اهمیت پژوهش‌های میرزاخانی از منظر فلسفه ریاضی، قدرت تبیین این پژوهش‌ها بود. تبیین در ریاضیات یعنی وحدت‌بخشی به مجموعه‌ای از حقایق احتمالا جداگانه تحت یك نظریه فراگیر. تبیین به معنای شناسایی علل، ربطی به ریاضیات ندارد؛ چراكه ریاضی عرصه علل نیست. مثال كلاسیك تبیین وحدت‌بخش، نظریه گرانشی نیوتن است كه جزر و مد دریاها و مكانیك سماوی را یكپارچه كرده و همزمان جزییاتی از آنها را توضیح می‌دهد. شهبازی كار میرزاخانی را هم از جنس كار نیوتن می‌داند و می‌نویسد: «كارهای مریم میرزاخانی با ایجاد روش جدید در حل مسائل و پیوند دادن شاخه‌هایی از جمله هندسه هذلولوی، آنالیز مختلط، سیستم‌های دینامیكی و هندسه جبری شمارشی، در واقع تبیینی برای این شاخه‌ها به شمار می‌آید و این امر به نوبه خود منجر به روشن شدن جزییاتی از این شاخه‌ها می‌شود.»
اما در بین همه جملات مربوط به جایگاه مریم میرزاخانی در عالم ریاضیات، این جملات بیانیه‌ای كه دانشگاه استنفورد به مناسبت درگذشت وی منتشر كرد، از همه شگفت‌انگیزتر است: «دستاوردهای مریم میرزاخانی می‌تواند برای نظریه میدان‌های كوانتومی و همچنین در فهم چگونگی پیدایش جهان هستی موثر باشد.» شهبازی در تشریح این مدعا می‌نویسد: «این امر به نوبه خود می‌تواند بر نگرش‌های فلسفی، مخصوصا نگرش‌های هستی‌شناسانه از جهان تاثیر بگذارد.» و نیز: «در صورتی كه جهان فیزیكی از قواعد هندسه هذلولوی تبعیت كند، دستاوردهای مریم میرزاخانی به تعریف شكل و حجم دقیق جهان كمك می‌كند.» احتمالا همین پیامدهای فلسفی و علمی احتمالی مترتب بر ریاضیات میرزاخانی، دلیل عضویت وی در مجمع فیلسوفان امریكا و آكادمی ملی علوم امریكا بوده است.