دوشنبه ۷ اردیبهشت ۱۳۹۴ 14594 0 4

بررسی مفهوم هم‌ریختی (همومورفیسم) در ریاضیات

مفاهیم ریاضی:

هم‌ریختی (همومورفیسم)

در جبر مجرد، هم‌ریختی یا هُمومورفیسم¹، نگاشتی است بین دو ساختار جبری (مانند دو گروه، حلقه یا فضای برداری). هر هم‌ریختی که یک به یک و پوشا باشد را یک‌ریختی می‌نامیم.

تعریف:

در گروه ها:

فرض کنید (G,*) و (G',*') گروه باشند، نگاشت 'φ: G → G را هم‌ریختی (همومورفیسم) از G به توی 'G گوییم هرگاه:

$\forall a,b \in G \varphi(a*b)=\varphi(a)*'\varphi(b)$

عبارت بالا را اغلب به صورت ساده شدهٔ $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ می‌نویسند. باید توجه داشت که در این تعریف، حاصل‌ضرب سمت چپ (یعنی ab در $\varphi(ab)$ ) در G است ولی حاصل‌ضرب $\varphi(a)\varphi(b)$ در 'G می‌باشد. از تعریف فوق چنین استنباط می‌‌شود که هر هم‌ریختی ساختار G را به ساختار 'G مربوط می‌کند.

در حلقه‌ها
از آنجایی که حلقه‌ها شامل دو عمل هستند، هم‌ریختی‌ها نیز باید برای هر دو عمل تعریف شوند. مثلاً اگر حلقه‌هایمان را با دو عمل جمع و ضرب در نظر بگیریم در آن صورت نگاشت 'φ: R → R از حلقه R به توی حلقه 'R یک هم‌ریختی است اگر به ازای هر a,b $\in$ R داشته باشیم $\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b) و \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ .

مثال‌ها
فرض کنید G گروه تمام اعداد مختلط ناصفر تحت ضرب و 'G گروه اعداد حقیقی مثبت تحت ضرب باشد و 'φ: G → G را با |φ(a) = |a تعریف کنیم. در این صورت φ یک هم‌ریختی از G به توی 'G است.

بیشتر بدانید...

یک‌ریختی (ایزومورفیسم) چیست؟

منابع و پی نوشت...

1. Homomorphism

منابع:

-- فرالی، جان ب. مهدی بهزاد. نخستین درس در جبر مجرد. ج. اول. ترجمهٔ مسعود فرزان. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۸۳. شابک ‎۹۶۴-۰۱-۰۳۵۱-۹.
-- هرشتاین، آی. ان. جبر مجرد. ترجمهٔ علی‌اکبر عالم‌زاده. تهران: مؤسسه انتشارات علمی دانشگاه صنعتی شریف، ۱۳۸۷. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۶۳۷۹-۰۲-۲.

منبع

دانشنامه ویکیپدیا

کلمات کلیدی

مفاهیم ریاضی همریختی

سایر مطالب پیشنهادی آی هوش:

24587

تعاریف و مفاهیم ریاضی: اصل لانه کبوتری

12448

تابع شمارش اعداد اول

6752

اعداد لیلند

9073

شمارش

27425

جدول ضرب هگزادسیمال

33619

تعاریف و مفاهیم: قضیه حمار

15187

یک‌ریختی (ایزومورفیسم)

18855

تعاریف و مفاهیم ریاضی: حسابان چیست؟

14013

تابع دوسویی

50356

تعاریف و مفاهیم ریاضی: قاعده هوپیتال

36085

الگوریتم: غربال اراتوستن

21972

دستگاه اعداد پایه ۶۰

آی هوش: گنجینه دانستنی ها و معماهای هوش و ریاضی

نظراتی که درج می شود، صرفا نظرات شخصی افراد است و لزوماً منعکس کننده دیدگاه های آی هوش نمی باشد.

آی هوش: مرجع مفاهیم هوش و ریاضی و انواع تست هوش، معمای ریاضی و معمای شطرنج

در زمینه‌ی انتشار نظرات مخاطبان، رعایت برخی موارد ضروری است:

-- لطفاً نظرات خود را با حروف فارسی تایپ کنید.
-- آی هوش مجاز به ویرایش ادبی نظرات مخاطبان است.
-- آی هوش از انتشار نظراتی که در آنها رعایت ادب نشده باشد معذور است.
-- نظرات پس از تأیید مدیر بخش مربوطه منتشر می‌شود.

نظر شما

ارسال