پنجشنبه ۳۱ خرداد ۱۴۰۳
دوشنبه ۷ اردیبهشت ۱۳۹۴ 14879 0 4

بررسی مفهوم هم‌ریختی (همومورفیسم) در ریاضیات

مفاهیم ریاضی:

هم‌ریختی (همومورفیسم)

در جبر مجرد، هم‌ریختی یا هُمومورفیسم1، نگاشتی است بین دو ساختار جبری (مانند دو گروه، حلقه یا فضای برداری). هر هم‌ریختی که یک به یک و پوشا باشد را یک‌ریختی می‌نامیم.
 
تعریف:
در گروه ها:
فرض کنید (G,*) و (G',*') گروه باشند، نگاشت 'φ:  G → G را هم‌ریختی (همومورفیسم) از G به توی 'G گوییم هرگاه:
 
\forall a,b \in G \varphi(a*b)=\varphi(a)*'\varphi(b)
 
عبارت بالا را اغلب به صورت ساده شدهٔ  \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b) می‌نویسند. باید توجه داشت که در این تعریف، حاصل‌ضرب سمت چپ (یعنی ab در \varphi(ab)) در G است ولی حاصل‌ضرب \varphi(a)\varphi(b) در 'G می‌باشد. از تعریف فوق چنین استنباط می‌‌شود که هر هم‌ریختی ساختار G را به ساختار 'G مربوط می‌کند.
 
در حلقه‌ها
از آنجایی که حلقه‌ها شامل دو عمل هستند، هم‌ریختی‌ها نیز باید برای هر دو عمل تعریف شوند. مثلاً اگر حلقه‌هایمان را با دو عمل جمع و ضرب در نظر بگیریم در آن صورت نگاشت 'φ:  R → R از حلقه R به توی حلقه 'R یک هم‌ریختی است اگر به ازای هر a,b \in R داشته باشیم \varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b) و \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b).
 
مثال‌ها
فرض کنید G گروه تمام اعداد مختلط ناصفر تحت ضرب و 'G گروه اعداد حقیقی مثبت تحت ضرب باشد و 'φ:  G → G را با |φ(a) = |a تعریف کنیم. در این صورت φ یک هم‌ریختی از G به توی 'G است.
 
 
منابع و پی نوشت...

1. Homomorphism
 
منابع:
-- فرالی، جان ب. مهدی بهزاد. نخستین درس در جبر مجرد. ج. اول. ترجمهٔ مسعود فرزان. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۸۳. شابک ‎۹۶۴-۰۱-۰۳۵۱-۹.
-- هرشتاین، آی. ان. جبر مجرد. ترجمهٔ علی‌اکبر عالم‌زاده. تهران: مؤسسه انتشارات علمی دانشگاه صنعتی شریف، ۱۳۸۷. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۶۳۷۹-۰۲-۲.

آی هوش: گنجینه دانستنی ها و معماهای هوش و ریاضی

نظراتی که درج می شود، صرفا نظرات شخصی افراد است و لزوماً منعکس کننده دیدگاه های آی هوش نمی باشد.
آی هوش: مرجع مفاهیم هوش و ریاضی و انواع تست هوش، معمای ریاضی و معمای شطرنج
 
در زمینه‌ی انتشار نظرات مخاطبان، رعایت برخی موارد ضروری است:
 
-- لطفاً نظرات خود را با حروف فارسی تایپ کنید.
-- آی هوش مجاز به ویرایش ادبی نظرات مخاطبان است.
-- آی هوش از انتشار نظراتی که در آنها رعایت ادب نشده باشد معذور است.
-- نظرات پس از تأیید مدیر بخش مربوطه منتشر می‌شود.
 
 
 
 

نظر شما

پرطرفدارترین مطالب امروز

قواعد بخش پذیری بر اعداد  1 تا 20
زندگینامه ریاضیدانان: رویا بهشتی زواره
طنز ریاضی: اثبات 5=2+2
بررسی تعلیم و تربیت از دیدگاه جان دیوئی
اتحادهای ریاضی
الگوریتم: غربال اراتوستن
تعاریف و مفاهیم: گراف کامل
تعاریف و مفاهیم ریاضی: اصل لانه کبوتری
تخلیه هیجان کودکان با 5 بازی