سه شنبه ۸ اردیبهشت ۱۳۹۴ 15218 0 5

دو ساختار ریاضی را یک‌ریخت (ایزومورف) نامیم هرگاه یک یک‌ریختی بینشان باشد.

مفاهیم ریاضی:

یک‌ریختی (ایزومورفیسم)

در جبر مجرد، هر یک‌ریختی یا ایزومورفیسم¹، یک تابع دوسویی هم‌ریختی است. دو ساختار ریاضی را یک‌ریخت (ایزومورف²) نامیم هرگاه یک یک‌ریختی بینشان باشد.

تعریف
فرض کنید (G,*) و (G',*') گروه باشند، تابع 'φ: G → G را یک‌ریختی (ایزومورفیسم) گوییم هرگاه دوسویی (یک به یک و پوشا) باشد و

$\forall a,b \in G \varphi(a*b)=\varphi(a)*'\varphi(b)$

عبارت بالا را اغلب به صورت ساده شدهٔ $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ می‌نویسند. باید توجه داشت که در این تعریف، حاصل‌ضرب سمت چپ (یعنی ab در $\varphi(ab)$ ) در G است ولی حاصل‌ضرب $\varphi(a)\varphi(b)$ در 'G می‌باشد.

مثال‌ها
فرض کنید (×,⁺R) گروه تمام اعداد حقیقی مثبت تحت ضرب و (+,R) گروه تمام اعداد حقیقی تحت جمع باشد. تابع لگاریتم را با هر پایه ثابت b از ⁺R بروی (یعنی تابع پوشا است) R در نظر بگیرید. $\log_b: \bold{R}^+ \to \bold{R}$ از آنجایی که برای هر x و y عضو R داریم:

$\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \!$

پس لگاریتم یک هم‌ریختی است و از آنجایی که یک به یک و پوشا نیز هست پس یک یک‌ریختی می‌باشد.

Z تحت جمع و R تحت جمع یک‌ریخت نیستند، زیرا هیچ تابع یک‌به‌یکی از Z بروی R وجود ندارد.

قضیه‌ها
هر گروه دوری نامتناهی G با گروه جمعی Z از اعداد صحیح یک‌ریخت است.

قضیه کِیلی: هر گروه با گروهی از جایگشت‌ها یک‌ریخت (ایزومورف) است. این قضیه منسوب به آرتور کیلی، ریاضیدان انگلیسی است.

بیشتر بدانید...

هم‌ریختی (همومورفیسم) چیست؟

منابع و پی نوشت...

1. isomorphism

2. isomorphic

منابع:

-- فرالی، جان ب.. مهدی بهزاد. نخستین درس در جبر مجرد. ج. اول. ترجمهٔ مسعود فرزان. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۸۳. شابک ‎۹۶۴-۰۱-۰۳۵۱-۹.

-- هرشتاین، آی. ان.. جبر مجرد. ترجمهٔ علی‌اکبر عالم‌زاده. تهران: مؤسسه انتشارات علمی دانشگاه صنعتی شریف، ۱۳۸۷. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۶۳۷۹-۰۲-۲.

منبع

دانشنامه ویکیپدیا

کلمات کلیدی

مفاهیم ریاضی یکریختی

سایر مطالب پیشنهادی آی هوش:

24606

تعاریف و مفاهیم ریاضی: اصل لانه کبوتری

4727

حساب برداری

36105

الگوریتم: غربال اراتوستن

22001

دستگاه اعداد پایه ۶۰

8189

حذف گاوسی

17385

هندسه فضایی

31839

تعاریف و مفاهیم ریاضی: تشابه

9031

دستگاه شمارش

9087

شمارش

33658

تعاریف و مفاهیم: قضیه حمار

20830

اعداد خوشحال

18877

تعاریف و مفاهیم ریاضی: حسابان چیست؟

آی هوش: گنجینه دانستنی ها و معماهای هوش و ریاضی

نظراتی که درج می شود، صرفا نظرات شخصی افراد است و لزوماً منعکس کننده دیدگاه های آی هوش نمی باشد.

آی هوش: مرجع مفاهیم هوش و ریاضی و انواع تست هوش، معمای ریاضی و معمای شطرنج

در زمینه‌ی انتشار نظرات مخاطبان، رعایت برخی موارد ضروری است:

-- لطفاً نظرات خود را با حروف فارسی تایپ کنید.
-- آی هوش مجاز به ویرایش ادبی نظرات مخاطبان است.
-- آی هوش از انتشار نظراتی که در آنها رعایت ادب نشده باشد معذور است.
-- نظرات پس از تأیید مدیر بخش مربوطه منتشر می‌شود.

نظر شما

ارسال