يکشنبه ۲۴ تیر ۱۴۰۳
دوشنبه ۳ آذر ۱۳۹۳ 4800 0 4

جهت کسب بینش جامع در مورد ریاضیات لازم است که ذهن با پرسشهای اساسی ریاضی دست و پنجه نرم کرده باشد.

فلسفه‌ورزی در حوزه ریاضیات

نویسنده: منوچهر ذاکر،دانشیار دانشگاه تحصیلات تکمیلی علوم پایه زنجان
 
جهت کسب بینش جامع در مورد ریاضیات لازم است که ذهن با پرسشهای اساسی ریاضی دست و پنجه نرم کرده باشد. به عبارت دیگر تا اندازه ای خلق و خو و خصلتی فلسفی در پیش بگیرد. به علاوه با پردازشهای فکری ریاضی عمده عمیقاً آشنا گشته و نقش پردازشها را در تولید ابزارها و مباحث ریاضی تشخیص دهد.

در عصر حاضر تخصصی و شاخه شاخه شدن روزافزون علوم مختلف، بر همگان روشن است. آموزش عالی و پژوهش یک متخصص علمی، فقط در حوزه باریکی از یک دیسیپلین علمی به عمل می آید. اکنون اگر از یک دانشجوی ریاضی و حتی یک محقق ریاضی بخواهید ریاضیات را تعریف کند و توصیف نسبتاً جامعی از ریاضیات برایتان بدهد به احتمال زیاد شما را ناامید خواهد کرد. همین داستان برای دیگر رشته های علمی که دارای نظام گسترده فکری هستند صدق می کند. این وضعیت را می توان با یک تمثیل، موجزوار بیان کرد. فرض کنید در یک کارخانه بزرگ مشغول کار هستید و تخصص شما تولید یک قطعه فنّی و یا انجام قسمتی جزئی از امورات کارخانه است، ولی شما از محصول نهایی کارخانه بی خبر هستید. آن چه هست که شما مشغول تولیدش بوده اید؟ ریاضیات و دیگر رشته های فنی در حکم همان محصول هستند.
در این نوشته قصد دارد توضیحات مختصری در مورد مبانی، فلسفه ریاضی و تقسیم بندی نحوه های تفکر ریاضی ارائه دهد تا از این طریق امکانی برای تعریف فلسفه ورزی در ریاضیات حاصل شود. اهمیت تعلیمی این مطالب در یادگیری و آموزش ریاضی را نیز خاطر نشان خواهم کرد.
 
ریاضیات در طی قرن نوزده میلادی تا اوایل قرن بیستم، تاریخی درخشان، فراموش نشدنی و سرنوشت ساز را گذرانده است. درطی این دوره، سازگاری و هماهنگی بین روش های گوناگون ریاضی از قبیل شهودی، صوری و... بدست آمد. تعاریف دقیقی از برخی اشیاء و مفاهیم ریاضی و اثبات هایی دقیق از بعضی احکام ریاضی بدست آمد که قبلاً یا به شیوه شهودی مانند روشهای هندسی و یا به شیوه صوری مانند استفاده از محاسبات صوری با سریها و دیگر ابزار های ریاضی بدست آمده بودند. همچنین تکلیف پارادوکس های ریاضی روشن شد. نه اینکه پارادوکس ها از بین بروند بلکه منطق و دلیل شکل گیری پارادوکس ها روشن شد. در نتیجه پارادوکس ها نه تنها دیگر ذهن ریاضیدانان را نمی آزردند بلکه برای مزاج آنها قابل هضم نیز شدند.
 
نیازی به گفتن نیست که همه این تلاشها و دست آوردها برای ریاضیات ضرورت داشته است. چه در غیر این صورت ریاضیات نمی توانست دانشی ناب و واجد دقت و یقین که همگان انتظار داشتند قلمداد شود. از طرف دیگر، حاصل کار، انتزاعی شدن و اصل موضوعی شدن (axiomatization) بیش از پیش ریاضیات بود و توفیق روشهای فرمالیستی را در پی داشت. تا جایی که برخی از متفکرین و ریاضیدانان ازقبیل برتراند راسل و داوید هیلبرت را بر آن داشت تا پروژه استخراج ریاضی از منطق و یا فروکاستن کل ریاضیات به منطق را در پیش بگیرند. این پروژه ها منطق گرایی و فلسفه فرمالیسم نامیده شدند و از نتایج این پروژه ها در صورت موفقیت می توان به اثبات سازگاری کل ریاضیات اشاره کرد. در سالهای حول و حوش 1930 همه این امیدها یا بهتر بگوئیم پروژه های فروکاستنی (reductionistic) با قضیه های تصمیم ناپذیری، که کورت گودل ریاضیدان نابغه آنها را به اثبات رساند نقش بر آب شد.
 
به عبارت ساده تر این نتیجه بدین معنی است که ریاضیات معادل با یک نظام فکری متشکل از مجموعه ای از اشیاء یا مفاهیم و اصول موضوع ریاضی و احکام منطقی حاصل از این اصول نیست. به عنوان مثال در نظریه مجموعه ها یا نظریه اعداد گزاره هایی وجود دارند که آنها را نمی توان در درون آن نظریه ها اثبات یا ابطال کرد. بلکه هم می توان گزاره را به عنوان حکمی صحیح به نظریه افزود و نظریه ای سازگار و بدون پارادوکس به دست آورد و هم می توان نقیض گزاره را به عنوان حکمی صحیح به نظریه افزود و مجدداً نظریه ای سازگار و بدون پارادوکس به دست آورد. یعنی نظریه را می توان به دو صورت توسعه داد و این بسته به انتخاب ماست، ولی همین خاصیت تصمیم ناپذیری دوباره برای نظریه توسعه داده شده برقرار است. این واقعیت ورای شهود ریاضیدان است.
 
اجازه دهید اندکی جمع بندی و نتیجه گیری کنیم. پروژه اصول موضوعی کردن و دقت بخشیدن به سراسر ریاضیات که در بالا شرح دادیم بسیاری از نگرانی ها و دغدغه های دم دست و ملموس ریاضیدانان در مورد خوش تعریفی مفاهیم و صحت احکام ریاضی را از میان برداشت. به عقیده نگارنده در حال حاضر نگرانیهایی از این دست دیگر در ریاضیات موجود نیست و اگر موردی هم باشد در معرض دید نبوده و چندان قابل حساب نمی باشد. ولی پرسشهای بنیادی در باب ماهیت ریاضیات و دیگر مقولات مرتبط با ریاضی که از قدمت کهنی برخوردارند کماکان به قوت خود باقی هستند.
 
پرسشهایی در مورد هستی شناسی اشیاء و مفاهیم ریاضی از قبیل اعداد و مجموعه ها و نیز سوالات در باب ماهیت صدق ریاضی و ضرورت درستی قضیه های ریاضی از این نوع پرسشها هستند. به عنوان مثال وابستگی و عدم وابستگی مفاهیم ریاضی به ظرفیت های شناختی ذهن انسان یا تجربه زیست شده بشر به چه نحو است؟ نگرانی ها و دغدغه ها در مورد این پرسشهای بنیادین در واقع بسیار عمیق تر از موارد قبلی هستند و به آسانی قابل رفع نیستند. این پرسشها ذهن کنجکاو را به حیطه فلسفه ریاضی هدایت می کند. ولی همانطور که در سطور فوق شرح دادیم با توجه به اینکه ریاضی خوانان و ریاضیدانان، دیگر درگیر دغدغه های دم دست و ملموس فوق الذکر نیستند مواجهه آنان فقط با رشته های تخصصی خاص خودشان است و کمتر به تفکر و تامل در باب پرسشهای بنیادین ریاضیات احساس نیاز پیدا می کنند.
 
در نتیجه نمی توان از آنان انتظار داشت در کنار رشته تخصصی خود در ریاضی با فلسفه ریاضی هم عمیقاً درگیر شوند. ولی همین جا خطراتی در کمین نشسته اند که هم متوجه قابلیت ذهن یک ریاضیدان و هم متوجه آموزش ریاضیات است. تفکر در باب پرسشهای فلسفی هر از چند گاهی پا به پای ارتقاء دانش ریاضی فرد، حتی اگر به پاسخ های محکمه پسند هم منتهی نشوند در یافتن یک بینش جامع در مورد کلیت دانش ریاضی و ادراک نقشه ای از مواضع (topics) و نظریه های گوناگون ریاضی و ارتباطات موجود و ممکن ما بین این نواحی (یعنی شناخت محصول نهایی کارخانه) نقش بسیار مهم و کلیدی دارد. هر اندازه این بینش با توصیفاتی که آمد و توانایی ساختن آن نقشه، نزد یک مدرس ریاضی بیشتر و غنی تر باشد به همان اندازه کیفیت تدریس بالاتر و انتقال تجارب موفق تر خواهد بود. تا چنانچه وی با سؤالی در کلاس درس مواجه شود با دانش و آگاهی وسیعتری پاسخگو باشد. این نحوه آموزش موجب می شود متعلم از شیوه تدریس، لذت بیشتری ببرد چرا که وی احساس خواهد کرد روی مطالب درسی تسلط و اشراف خاصی پیدا می کند که بدیع بوده و قبلاً برایش سابقه نداشته است.
 
جهت کسب بینش جامع (panoramic vision) در مورد ریاضیات لازم است که ذهن با پرسشهای اساسی ریاضی دست و پنجه نرم کرده باشد. به عبارت دیگر تا اندازه ای خلق و خو و خصلتی فلسفی در پیش بگیرد. به علاوه با پردازشهای فکری ریاضی عمده، از قبیل پردازش نمادین / صوری، پردازش تصویری / فضایی و پردازش ترکیباتی عمیقاً آشنا گشته و نقش پردازشها را در تولید ابزارها و مباحث ریاضی تشخیص دهد. هدف از این کار، ایجاد نقشه ای ذهنی است که ارتباطات شناخته شده و محتمل بین مباحث ریاضی را دربر دارد. بدین وسیله محصل ریاضی در هر مرحله از آموزش و پژوهش ریاضی تشخیص خواهد داد مفاهیم و مباحثی که فرا میگیرد در کجای این نقشه قرار دارند. این قابلیت ذهنی علاوه بر بهره برداری از این بینش مطلوب، توانایی قضاوت و سنجش آثار و نتایج ریاضی را برای صاحب آن به ارمغان می آورد. فلسفه ورزیدن در ریاضیات چیزی جز تلاش و تمرین برای کسب این فضیلت فکری نیست.
کلمات کلیدی

آی هوش: گنجینه دانستنی ها و معماهای هوش و ریاضی

نظراتی که درج می شود، صرفا نظرات شخصی افراد است و لزوماً منعکس کننده دیدگاه های آی هوش نمی باشد.
آی هوش: مرجع مفاهیم هوش و ریاضی و انواع تست هوش، معمای ریاضی و معمای شطرنج
 
در زمینه‌ی انتشار نظرات مخاطبان، رعایت برخی موارد ضروری است:
 
-- لطفاً نظرات خود را با حروف فارسی تایپ کنید.
-- آی هوش مجاز به ویرایش ادبی نظرات مخاطبان است.
-- آی هوش از انتشار نظراتی که در آنها رعایت ادب نشده باشد معذور است.
-- نظرات پس از تأیید مدیر بخش مربوطه منتشر می‌شود.
 
 
 
 

نظر شما

پرطرفدارترین مطالب امروز

زندگینامه بزرگان ریاضی: اواريست گالوا
گفتگویی با مهندس احمد میرزاخانی، پدر مریم میرزاخانی
قواعد بخش پذیری بر اعداد  1 تا 20
زندگینامه ریاضیدانان: رویا بهشتی زواره
رتبه هفتم کنکور سراسری ریاضی 93: بعد از آزمون فکرش را نمی‌کردم برتر شوم
دانستنی‌هایی عددی درباره خورشید!
مریم میرزاخانی معادله مرگ را نوشت
طنز ریاضی: اثبات 5=2+2
سیستم عدد نویسی رومی