شنبه ۳۱ خرداد ۱۳۹۳ 10170 0 10

دایره واحد (unit circle) چیست؟

دایره واحد (دایره مثلثاتی)

دایره واحد، دایره‌ای به شعاع واحد است. معمولاً و به خصوص در مثلثات، دایرهٔ واحد دایره‌ای است با شعاعی به طول ۱ که مرکز آن نقطهٔ (۰٫۰) در دستگاه مختصات دکارتی در صفحه اقلیدسی است. اگر (x٫y) نقطه‌ای بر روی دایره واحد در ربع اول باشد آنگاه x و y طول ضلع‌های مثلث قائمه‌ای با وتری به طول یک هستند. بنابراین از قضیه فیثاغورس نتیجه می‌گیریم که x و y در معادلهٔ x² + y² = 1 صدق می‌کنند. این معادله، معادلهٔ دایره‌ای به شعاع ۱ و مرکز مبدأ مختصات است که هر نقطه‌ای بر روی دایرهٔ واحد در آن صدق می‌کند.

صورت‌های نقاط دایره واحد
صورت نمایی: $z = \,\mathrm{e}^{i \theta}\,$
صورت مثلثاتی: $z = \cos(\theta) + i \sin(\theta) \,$
$\theta$ زاویه‌ای است که خط گذرنده از Z و مبدأ مختصات با جهت مثبت محور Xها می‌سازد.

$نمایش نسبت‌های مثلثاتی در دایره مثلثاتی$

نمایش نسبت‌های مثلثاتی در دایره مثلثاتی

توابع مثلثاتی بر دایرهٔ واحد

جهت مثبت دایره مثلثاتی را مخالف جهت حرکت عقربه‌های ساعت در نظر می گیرند.

نقطه‌ای مانند A با مختصات $(\sin \theta,\cos \theta)$ بر روی محیط دایره در نظر بگیرید. طبق تعاریف سینوس و کسینوس می‌دانیم که $\cos(\theta) = x \,\!$ و $\sin(\theta) = y \,\!$ . از طرفی برای مثلث قائم‌الزاویه OAC که وتر آن به اندازه یک واحد است، داریم $\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 \,\!$ که این رابطه یکی از پایه‌ای‌ترین مفاهیم علم مثلثات است.

با توجه به خواص دایره مثلثاتی و از آنجا که توابع سینوس و کسینوس متناوب هستند خواهیم داشت:

$\cos \theta = \cos(2\pi k+\theta) \,\!$
$\sin \theta = \sin(2\pi k+\theta) \,\!$

منابع ...

توماس، جورج و راس فینی. حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسهٔ تحلیلی. ج. ۱. ترجمهٔ مهدی بهزاد و دیگران. چاپ چهاردهم. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۸۷. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۸۰۴۰-۲.

براون، جیمز وارد و روئل ونس چرچیل. متغیرهای مختلط و کاربردهای آن. ترجمهٔ امیر خسروی. چاپ سوم. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۹۰. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۱۳۳۷-۰.

جلیل‌الله قراگزلو. مثلثات پایه. تهران:موسسه فرهنگی فاطمی، ۱۳۸۰. ISBN ۹۶۴-۳۱۸-۰۵۴-۹

منبع

ویکی‌پدیا

کلمات کلیدی

مثلثات توابع مثلثاتی

سایر مطالب پیشنهادی آی هوش:

9306

اتحادهای مثلثاتی

6330

معرفی کتاب: مرجع مثلثات

6418

معمای المپیادی: زاویه مجهول

11121

خوشحالی پس از گل پوگبا و مثلثات!

9693

پیدایش مثلثات

23643

مثلثات چیست؟

آی هوش: گنجینه دانستنی ها و معماهای هوش و ریاضی

نظراتی که درج می شود، صرفا نظرات شخصی افراد است و لزوماً منعکس کننده دیدگاه های آی هوش نمی باشد.

آی هوش: مرجع مفاهیم هوش و ریاضی و انواع تست هوش، معمای ریاضی و معمای شطرنج

در زمینه‌ی انتشار نظرات مخاطبان، رعایت برخی موارد ضروری است:

-- لطفاً نظرات خود را با حروف فارسی تایپ کنید.
-- آی هوش مجاز به ویرایش ادبی نظرات مخاطبان است.
-- آی هوش از انتشار نظراتی که در آنها رعایت ادب نشده باشد معذور است.
-- نظرات پس از تأیید مدیر بخش مربوطه منتشر می‌شود.

نظر شما

ارسال