جمعه ۳۰ خرداد ۱۳۹۳ 12437 0 15

تعریف تابع شمارش اعداد اول و تاریخچه آن

تابع شمارش اعداد اول

نمودار تعداد اعداد اول کوچک تر ۶۰

در ریاضیات تابع شمارش اعداد اول (Prime-counting function) تابعی است که برای شمارش تعداد اعداد اول کوچکتر یا مساوی عدد حقیقی x آن را با نماد (π(x نمایش می‌دهند. (توجه کنید، این تابع ربطی به عدد مشهور π ندارد.)

تاریخچه

در قرن ۱۸ گاوس و لژاندر¹ توانستند تقریب دقیق $x/\operatorname{ln}(x)\!$ را برای تعداد اعداد اول به دست آورند که بعدها این تقریب به 'نظریه اعداد اول' ² مشهور شد و بر اساس آن ثابت شد که:

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{x/\operatorname{ln}(x)}=1 \!$

با تعریف تابع انتگرال لگاریتم³ که آن را با نماد $li(x)$ نمایش می دهند و به صورت زیر تعریف می شود:

${\rm li} (x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t}\;$

ثابت شد که:

$\lim_{x\rightarrow\infty}\pi(x) / \operatorname{li}(x)=1\!$

نظریه اعداد اول، اولین بار در سال 1896 توسط ژاک آدامار⁴ و چارلز ژان پوسین⁵ به صورت مستقل به اثبات رسید. آنها از مفاهیم تابع زتای ریمان⁶ استفاده کرده بودند. اثبات هایی که در آن از تابع زتای ریمان استفاده نشده بود حوالی سال 1948 توسط اتل سیلبرگ⁷ و پل اردوش اثبات گردید.

بررسی تابع:

در زیر چند مقدار ابتدایی (π(n را به ازای n<=60 ملاحظه می کنید:

(توضیح: برای یافتن اعداد اول نه چندان بزرگ، می توان از الگوریتم غربال اراتوستن استفاده نمود)

n       π(n)
1       0
2       1
3       2
4       2
5       3
6       3
7       4
8       4
9       4
10       4
11       5
12       5
13       6
14       6
15       6
16       6
17       7
18       7
19       8
20       8
21       8
22       8
23       9
24       9
25       9
26       9
27       9
28       9
29       10
30       10
31       11
32       11
33       11
34       11
35       11
36       11
37       12
38       12
39       12
40       12
41       13
42       13
43       14
44       14
45       14
46       14
47       15
48       15
49       15
50       15
51       15
52       15
53       16
54       16
55       16
56       16
57       16
58       16
59       17

60 17

بررسی تابع به ازای بزرگ شدن اعداد:

محدوده تابع:
ریاضیدان فرانسوی پیر دوسارت⁸ ثابت کرد که برای x ≥ ۵۹۹ رابطه زیر برقرار است:

$\frac{x}{\ln x}\left(1+\frac{1}{\ln x}\right) < \pi(x) < \frac{x}{\ln x}\left(1+\frac{1}{\ln x}+\frac{2.51}{(\ln x)^2}\right)$

همچنین ثابت کرد که برای هر x ≥ ۳۵۵۹۹۱:

$\frac {x}{\ln x + 2} < \pi(x) < \frac {x}{\ln x - 4}$

بعدها ثابت شد که برای هر ε>۰ وجود دارد عددی طبیعی ماننده s که برای هر x>s رابطه زیر برقرار است:

$\frac {x}{\ln x - (1-\varepsilon)} < \pi(x) < \frac {x}{\ln x - (1+\varepsilon)}$

پی نوشت ...

1. آدرین-ماری لژاندر (Adrien-Marie Legendre)، ریاضیدان فرانسوی

2. prime number theorem

3. logarithmic integral

4. Jacques Hadamard، ریاضیدان فرانسوی

5. Charles Jean de la Vallée-Poussin، ریاضیدان بلژیکی

6. Riemann zeta function

7. Atle Selberg، ریاضیدان نروژی

8. Pierre Dusart

منبع

ویکی پدیا/ تکمیل محتوا توسط گروه تدوین محتوای آی هوش

کلمات کلیدی

مفاهیم ریاضی تعاریف ریاضی اعداد اول

سایر مطالب پیشنهادی آی هوش:

9068

شمارش

13202

عدد اردینال چیست؟

21590

عدد کاردینال چیست؟

7245

بزرگترین عدد اول شناخته شده

24563

تعاریف و مفاهیم ریاضی: اصل لانه کبوتری

20774

اعداد خوشحال

17347

هندسه فضایی

6001

جادوی اعداد: اعداد اول و اعتماد به الگوها!

36062

الگوریتم: غربال اراتوستن

3960

کشف عددی اول با ۹٫۳ میلیون رقم

50333

تعاریف و مفاهیم ریاضی: قاعده هوپیتال

4717

حساب برداری

آی هوش: گنجینه دانستنی ها و معماهای هوش و ریاضی

نظراتی که درج می شود، صرفا نظرات شخصی افراد است و لزوماً منعکس کننده دیدگاه های آی هوش نمی باشد.

آی هوش: مرجع مفاهیم هوش و ریاضی و انواع تست هوش، معمای ریاضی و معمای شطرنج

در زمینه‌ی انتشار نظرات مخاطبان، رعایت برخی موارد ضروری است:

-- لطفاً نظرات خود را با حروف فارسی تایپ کنید.
-- آی هوش مجاز به ویرایش ادبی نظرات مخاطبان است.
-- آی هوش از انتشار نظراتی که در آنها رعایت ادب نشده باشد معذور است.
-- نظرات پس از تأیید مدیر بخش مربوطه منتشر می‌شود.

نظر شما

ارسال