1. تعریف ریاضیات
معنای لغوی ریاضی عبارت است از:
1. تحمل رنج و تَعَب برای تهذیب نفس و تربیت خود یا دیگری،
2. تمرین و ممارست،
3. كوشش و سعی،
4. گوشه نشینی.
اما ریاضی در اصطلاح به فن محاسبه اعداد گفته میشود و نیز علمی است كه قدما آن را یكی از شاخه‌های حكمت نظری به حساب می آوردند كه اصول آن شامل هندسه، علم عدد، علم نجوم و علم تألیف بود و از فروعی تشكیل میشد شامل علم مناظر و مرایا، علم جبر و مقابله، علم جراثقال، علم نیرنجات (علم الحِيَل) و مانند آن.
اخوان الصفا در قرن چهارم هجری علوم فلسفی را چهار نوع دانستند: اول ریاضیات؛ دوم منطقیات؛ سوم علوم طبیعیات؛ چهارم علوم الاهیات و ریاضیات مشتمل بر چهار نوع: ارثماطیقی (حساب)، جِئومطریا (علم هندسه)، اسطرنومیا (علم نجوم)، و موسیقی. موسیقی شناختن نواها و هماهنگی اصوات است كه از طریق آن، اصولالحان استخراج می شود. اسطرنومیا علم ستارگان است از طریق برهان هایی كه در كتاب المجسطی آمده است. جومطریا علم هندسه است از طریق برهان هایی كه در كتاب اقلیدس آمده است. ارثماطیقی شناخت خواص اعداد است و شناخت آن معانی موجودات كه با این اعداد مطابق است و فیثاغورس و نیكوماخوس از آنها یاد كرده‌اند.
در تعریف امروزی، ریاضیات دانشی است كه در آن معقولات ثانی ریاضی بحث می شود. مراد از معقولات ثانی ریاضی، مفاهیم درجه دومی است كه در حوزه كمیت و مقدار و بر اساس آن شكل می گیرند، از قبیل عدد، مجموعه، بعد، پیوستگی، شكل. به بیان دیگر، ریاضیات از معقولات ثانی ریاضی و مشتقات، قیود، ملحقات و منتزعات آنها بحث می كند و در این تعریف ریاضیات علمی است كه غرض آن درك مقادیر است و بر حساب و جبر و مقابله و مساحت (هندسه) اطلاق می شود. مركز اصلی علم اعداد و حساب هندوستان بوده و منابع اصلی علم جبر از بین‌النهرین و مآخذ هندی و یونانی تشكیل میشده است. علم هندسه از منابع یونانی اخذ شده و علم مثلثات به دست توانایی ریاضیدانان ایرانی هویت مستقل یافته است. ایرانیان علم هندسه را با جبر تلفیق كردند و در راه رسیدن به دانشی تركیبی؛ یعنی هندسه تحلیلی گام برداشتند.
2. تاریخچه ریاضیات
«جهان كتابی است كه در برابر چشمان ما گشوده شده است ولی تنها زمانی میتوان آن را درك كرد كه با زبان و نشانه‌های آن آشنا باشیم این زبان، ریاضیات و این نشانه ها مثلثها، دایره ها، و سایر شكلهای هندسی اند» (از سخنان گالیله)
موفقیت هایی كه در زمینه ریاضی به دست آمده است بیش از همه به مصر و به خصوص به بابل قدیم تعلق دارد. از همان آغاز تاریخ مدون مصر، علوم ریاضی در آن سرزمین پیشرفته بوده، دلیل آن این است كه كشیدن نقشه اهرام و ساختن آنها محتاج اندازه گیری دقیقی بود كه جز با داشتن اطلاعات وسیع در ریاضی میسر نمی شد. وابستگی زندگی عمومی مردم مصر به بالا آمدن و فرونشستن آب نیل، مستلزم آن بوده است كه بتوانند اندازه بالا آمدن و پایین رفتن آب را اندازه بگیرند و حساب دقیق آن را داشته باشند. زمین پیمایان و نویسندگان، پیوسته ناچار بودند كه زمین هایی را كه آب فرا می گرفت و حدود آن را محو می كرد، اندازه گیری و پیمایش كنند و حدود جدید آنها را معین سازند، شك نیست كه همین اندازه گیری مبنای پیدایش علم هندسه بوده است. بابلیها مردمی تجارت پیشه بودند و بازرگانی ضرورت ریاضیات را پدید آورد. علم ریاضی، اسباب پیدایش علم نجوم را فراهم كرد. كاهنان بین‌النهرین، با وظایفی كه بر عهده داشتند از قبیل قضاوت، اداره امور مردم، تأمین وسایل مالی كشاورزی و صناعت، غیب گویی، كارشناسی در مشاهده ستارگان و احشای جانوران، شالوده علومی را ریختند كه بعدها به دست یونانیان گسترش یافت.
با حضور دانشمندان یونانی اطلاعات ریاضی جنبه علمی به خود گرفت. یونانیان احكام ریاضی را، به جای تجربه، بر استدلال منطقی استوار كردند. یونانیان در هندسه تبحر داشتند، اما در ایجاد علوم حساب، جبر و مثلثات نیز گام هایی برداشتند. مهمترین مركز ریاضی در یونان اسكندریه بود كه در آنجا اقلیدس، آپولونیوس، و بعداً هرون، بطلمیوس، كلودیوس و دیوفانتوس فعالیت كردند. ارشمیدس هم رابطه جدی با دانشمندان اسكندریه داشت او به همه شعب ریاضی پرداخت و چند رشته ریاضی را پایهگذاری كرد. او علم استاتیك را ابداع و اعداد یونانی را تكمیل كرد. در این دوران، رشد ریاضیات در هند ادامه داشت، اما ریاضیدان های هندی با آنكه در محاسبه ممارست داشتند رغبتی به مفهوم روش استدلالی دقیق یونانی نشان نمی دادند.
در مقابل، مسلمانان در قرن های هفتم و هشتم میلادی میراث یونانیان و هندیان و مصریان و بابلیان را حفظ و كتابهای آنان را ترجمه كردند. بدین ترتیب، اطلاعاتی كه مسلمانان در زمینه ریاضیات از هندیان گرفتند، عمدتاً از طریق مجموعه هایی بود كه به نام سیدهانته یا سِدهانته خوانده میشدند و مسلمانان هر یك از آنها را سند هند می خواندند. مهمترین سند هند، هم از لحاظ ریاضی و هم از جنبه نجومی، براهمه شپهُط سیدهانته تألیف برهما گوپتا و اَرِيَبهطِيَه تألیف اَرِيَبهَطَ است كه از روی سیدهانته‌های قدیمتر فراهم آمده بود. منابع یونانی هم شامل آثار عمده ریاضیدانان یونانی بود، همچون كتابهای اصول اقلیدس؛ قطوع مخروطی و قطع خطوط و سطوح بر نسبت معین از آپولونیوس؛ كتاب مدخل حساب نیكوماخوس؛ همراه با آثار هرون و تئون و ریاضیدانان و شارحان مهم دیگر اسكندرانی. ارشمیدس اهمیت خاصی در ریاضیات اسلامی دارد كه تقریباً همه آثار او همچون كره و دایره و اندازه گیری دایره و تعادل سطوح و اجسام شناور به عربی ترجمه شد.
بنابراین، به یقین میتوان گفت كه مسلمانان تقریباً تمام اندیشه‌های مهم ریاضی را كه در بین‌النهرین قدیم و مصر و یونان و نیز در ایران و هند پیدا شده بود كسب كردند و این میراث عظیم، شالوده ای برای گسترش ریاضیات در اسلام شد.
3. ریاضیات در تمدن اسلامی
ریاضیات در تمدن اسلامی با شاخه هایی، مثل نجوم، حساب، جبر و هندسه امتزاج یافته است و این امتزاج نه فقط در تمدن اسلام كه در غالب مكاتب كهن در هند و بابل نیز وجود داشته است. تمدن اسلامی از قرن دوم هجری به بعد زمینه ای برای تلاقی و تركیب فرهنگ های گوناگون پدید آورد. در مورد علم ریاضیات با ترجمه آثار ریاضی و نجومی هندی و متون یونانی این تلاقی و تركیب پدیدار شد. همچنین، علاوه بر تأثیر معارف خارجی، سنت های ایرانی، بابلی، سومری و كلدانی كه از قبل در این منطقه وجود داشت، بر یكدیگر تأثیرگذار بودند. در انتقال روش های یونانی و هندی به جامعه اسلامی خلفای عباسی و مترجمان نقش عمده ای داشتند. در زمان حكمرانی منصور عباسی (136ـ 158 ق)، آثار برهما گوپتا به بغداد آورده شد و با حمایت او به عربی ترجمه شد. در زمان هارون عباسی خلیفه بعدی بسیاری از آثار كلاسیك علمی یونان به عربی برگردانده شد. همچنین در عهد حكومت او معارف هندی در بغداد نفوذ بیشتری یافت. مأمون (193ـ 218 ق) پسر هارون الرشید با ایجاد مؤسسه ای برای ترجمه و تحقیق، معروف به «بیت الحكمه»، پیشرفت فعالیتهای علمی را تسریع كرد. او رصدخانه ای در بغداد ساخت و مسئولیت اندازه گیری نصف النهار زمین را به آنجا سپرد. مهمترین كتاب های ریاضیات كه در زمان عباسیان به عربی ترجمه شدند از این قرارند:
1. كتاب های اقلیدس:
اصول هندسه ترجمه حجاج بن مطّر. این كتاب یك بار در زمان هارون به قلم حجاج بن مطر به نام هارونی ترجمه شد و بار دیگر در زمان مأمون به دست اسحاق بن حنین ترجمه شد و ثابت بنقره آن را اصلاح كرد. همچنین ابوعثمان دمشقی نیز آن را ترجمه كرده است. كتاب الظاهرات، اختلاف مناظر، كتاب الموسیقی، كتاب القسمه، كتاب القانون، الثقل و الخفه (كتاب سنگینی و سبكی) از تألیفات اقلیدس به عربی ترجمه شدند ولی نام مترجم آنها معلوم نیست.
2. كتابهای ارشمیدس:
مجموع آنها ده كتاب است كه از یونانی به عربی ترجمه شده ولی مترجم آن معلوم نیست.
3. كتاب های آپولونیوس:
كتاب المخروطات، قطع السطوح، قطع الخطوط، النسبه، المحدوده، الدوائرالماسه به عربی ترجمه شده، اما مترجم آن معلوم نیست.
4. كتابهای منالاوس:
كتاب الاشكال الكُرویه، و كتاب اصول هندسه، را ثابت بن قره به عربی ترجمه كرد.
5. كتاب های بطلمیوس قلوذی:
كتاب مجسطی را یحیی برمكی تفسیر كرده است. و كتاب های چهارگانه بطلمیوس كه ابراهیم بن حلت آن را ترجمه و حنین بن اسحاق آن را اصلاح كرد.
6. كتاب جبر ابرخس:
كتاب جبر معروف به حدود و كتاب قسمه الاعداد از تألیفات ابرخس كه به عربی ترجمه شد، اما مترجم آن معلوم نیست.
7. كتاب جبر ذیوفنطس:
كتاب جبر تألیف ذیوفنطس كه به عربی ترجمه شده و مترجم آن معلوم نیست.
ابن ندیم در كتاب الفهرست كتب ذیل را كه به عربی ترجمه شده بدون ذكر مترجم نام برده است:
كتاب العمل بالاسطرلاب المسطح تألیف ابیون بطریق؛ كتاب جرم الشمس و القمر تألیف ارسطرفس، كتاب العمل بذات الحلق، كتاب جداول زیج بطلمیوس المعروف بالقانون المسیر تألیف ثاون اسكندری، كتاب العمل بالاسطرلاب.
كتابهای موسیقی زیر نیز، در دوره نهضت عباسیان، از یونانی به عربی برگردانده شدند:
كتاب الموسیقی الكبیر تألیف نیكوماخوس، كتاب موسیقی منتسب به اقلیدس، كتاب الریموس و كتاب الایقاع تألیف اَرِسطُكاس، مقالات موسیقی تألیف فیثاغورس، كتاب آله مصوته مشهور به الارغنن البوقی و كتاب الارغنن الزمری تألیف مورطس. همچنین مسلمانان در علم هیئت و ریاضیات از تألیفات دانشمندان هندی بسیار بهرهمند شدند. منصور عباسی دستور داده بود كه زیج سند هند را به عربی ترجمه كنند و نقل و ترجمه این زیج تأثیر مهمی بر دانشمندان مسلمان گذاشت و آنان را بیش از پیش با علم هیئت آشنا كرد. بسیاری از دانشمندان مسلمان از آن كتاب تقلید كردند و بر مبنای آن كتابهایی نوشتند. مثلا" محمد بن ابراهیم فزاری، حبیش بن عبدالله بغدادی و محمد بن موسی خوارزمی كتابهای خود را بر اساس سند هند تألیف كردند.
در مجموع، ترجمه‌های هندی و یونانی به عربی و نیز فراهم بودن فضای علوم عقلی در زمان برخی از خلفای عباسی سبب شد ریاضیات مراحل تكامل و ترقی را طی كند و ریاضیدانان بزرگی را به جهان اسلام و دنیا عرضه نماید.
4. ریاضیدان های مسلمان
برای آشنایی اجمالی با طرز عمل و ابتكارات مسلمانان در علوم ریاضی به معرفی ریاضیدان های برجسته مسلمان می پردازیم.
تاریخ ریاضی در جهان اسلام، به تعبیری، با نام محمد بن موسی خوارزمی (متونی 232 ق) آغاز می شود. خوارزمی یكی از ریاضیدانان و ستاره شناسان مركز فرهنگی مأمون در بغداد به نام بیت الحكمه بود. تبحر عمده او در چهار زمینه حساب، جبر، جغرافیا و نجوم بود. در حساب و نجوم روش های هندی را به عالم اسلامی شناساند. مهمترین كتاب او در ریاضی، كتاب المختصر فی حساب الجبر و المقابله است. از آثار دیگر خوارزمی می توان به زیج اول و زیج دوم، صوره الارض یا رسم افریقیه و عمل الاسطرلاب اشاره كرد. خوارزمی همچنین كتابی تألیف كرد و جداول خاصی را در حساب مثلثات و سطوح فلكی محاسبه كرد. كتاب های خوارزمی را كسانی چون یوحنا اسپانی، الفرد ناگل، فردریك روزان، یولیوس روسكا، ژراردوی كرمونایی، روبرت تشتر و ادیلاردری باث بارها به لاتین ترجمه كردند. اروپاییان خوارزمی را «الگریزم» خطاب می كردند.
بجز خوارزمی، در قرن سوم، از كندی، نخستین فیلسوف اسلامی، باید نام برد كه ریاضیدان شایسته ای نیز بود و تقریباً در هر یك از شاخه‌های این علم رساله هایی تألیف كرد. شاگرد او، احمد سرخسی بود كه بیشتر به سبب آثار جغرافیایی و موسیقایی و احكام نجومی خود شهرت دارد. پس از او ماهانی كار تكمیل جبر را ادامه داد و در رساله درباره نسبت ها كوشش كرد كه نظریه كلی و مشكل نسبت ها را در كتاب پنجم مقدمات روشن كند. سه پسر شاكربن موسی، محمد و احمد و حسن، كه به بنو موسی شهرت یافتند، هر سه ریاضیدان بودند، احمد علاوه بر آن فیزیكدان قابلی بود، اثری نیز درباره اندازه گیری سطوح مسطح و كرويّت نوشت كه این اثر را ژراردوی كرمونایی به لاتینی برگرداند. فرغانی و ابومعشر بلخی دو تن از دانشمندان سرشناس بودند. از آثار فرغانی باید به اختصار المجسطی و كتابی در حركات سماویه و جوامع علم نجوم و مهمتر از همه، كتاب اصول الفلك اشاره كرد. كتاب اصولالفلك را دانتی یجییری و ژاكوب جولیوس به لاتین ترجمه كردند. ابومعشر بلخی نیز از منجمان معروف بود. ازجمله كتابهای او اثبات العلوم و هیئه الفلك را باید نام برد كه آن را یوهانس هیسپالنسیس و اد لارد به لاتین ترجمه كردند.
از ریاضیدانان قرن چهارم هجری باید از نیریزی، بتّانی، بوزجانی، ابن هیثم، ابوسهل كوهی، ابن سینا، بیرونی و گیلانی نیز یاد كرد:
نیریزی بر ده كتاب اول مقدمات اقلیدس شرحی نوشت.
شهرت بوزجانی به سبب ترجمه آثار دیوفانتوس، معرفی تابع تانژانت به عالم مثلثات و محاسبه جدولی از سینوس ها و كسینوس ها برای فواصلی به طول 15 درجه است. از آثار موجود ریاضی بوزجانی می توان از كتاب مایحتاج الیه الكتاب و العمال من علم الحساب و كتاب فی مایحتاج الیه الصانع من اعمال الهندسه نام برد كه كتاب حساب او را وپكه به زبان فرانسوی ترجمه كرد.
اثر معروف بتانی، منجم معروف سوریه، رساله تكمیل المجسطی است كه در آن نه تنها سینوس و كسینوس، تانژانت و كتانژانت در نظر گرفته شده، بلكه سكانت و كسكانت و حتی بسیاری از ارتباطات آنها نیز بررسی شده است.
ابن هیثم بسیاری از كتاب های ارسطو را خلاصه كرد و شرح داد و نیز كتاب های جالینوس را تنقیح كرد.
ابوسهل كوهی از دانشمندانی است كه اهتمام ویژه ای به مسائل فلكی و مشكل های ریاضی (حساب مثلثات فنی) داشت و رئیس رصدخانه ای بود كه آل بویه در بغداد تأسیس كرده بودند. او یكی از برجسته ترین علمای جبر اسلامی است كه تحقیق كاملی در معادلات سه جمله ای درجه دوم كرده بود.
ابن سینا را نیز باید ریاضیدانی دانست كه در این دوره شكوفا شد. ابن سینا همانند فارابی، نظریه موسیقی ایرانی زمان خود را تكمیل كرد و همین موسیقی است كه همچون سنتی زنده تا زمان حاضر باقی مانده است. ابن سینا كتاب هایی از مجموعه بزرگ شفا را به روشهای ریاضی اختصاص داده است. ابن سینا همزمان با ابوریحان بیرونی بود.
بیرونی چند تألیف ریاضی و نجومی بر جای گذاشت. كتاب سوم قانون مسعودی بیرونی در باب مثلثاتِ مسطحه و كروی اختصاص یافته و بیرونی در كتاب التفهیم مطالبی چند درباره ریاضیات مرتبط با مسائل نجومی گنجاند و اثر مهم دیگر بیرونی آثار الباقیه عن القرون الخالیه نیز بحث های جامعی درباره قواعد هندسی در باب صناعت تسطیح دارد.
گیلانی یكی دیگر از دانشمندان ریاضی و فلكی بود كه كتابی به نام المدخل فی صناعه احكام النجوم تألیف كرد و زیج او به آلمانی نیز ترجمه شد.
ابوبكر كرجی و ابوالحسن نسوی و غیاث الدین عمر خیام از ریاضیدانان قرن پنجم هجری بودند:
ابوبكر كرجی كتاب الكافی را در علم حساب نوشت و در آن بدون به كارگیری ارقام هندسی به حل علم حساب پرداخت. او كتابت حروف را به جای ارقام نهاده است. هوفهایم كتاب او را ترجمه كرده است. همچنین كرجی كتابی دیگر به نام الفخری دارد.
ابوالحسن نسوی، در ریاضیات و نجوم و آراءفلكی و علوم متداول زمان خود شهرت بسزایی داشت. كتاب المقنع فی الحساب الهندی از آثار اوست كه وپكه آن را تحلیل كرده است. در این كتاب عملیات اصلی جمع و تفریق و ضرب و تقسیم و استخراج جذر و كعب آورده شده است. نسوی در این كتاب برای گرفتن ریشه اعداد از كسرهای با مخرج 10 استفاده كرده است.
عمر خیام نیشابوری را بیشتر به سبب رباعیاتش می شناسند. رباعیات او به زبان های متعدد ازجمله به دست ادوارد فیتز جرالد به انگلیسی ترجمه شده است. با وجود این سهم وی در علوم ریاضی و نجوم در صدر قرار دارد. خیام در علوم ریاضی تألیفات متعددی دارد از جمله:
1. مقاله فی الجبر و المقابله كه وپكه در سال 1851 و بعد از او چند تن دیگر آن را به لاتین ترجمه كردند.
2. رساله فی قسمه ربع الدائره كه امیر معز آن را در سال 1961 به انگلیسی و كراسنوا و روزنفلد به روسی ترجمه كردند.
3. رساله فی شرح ما اشكل من مصادرات اقلیدس.
4. مشكلات الحساب.
خیام معادلات را تا درجه سوم بررسی كرده آنها را طبقه بندی و حل كرده است. خیام در ستاره شناسی نیز دانشمندی بنام بود و در تأسیس رصدخانه اصفهان و نیز تدوین تقویم خیامی (جلالی) تأثیر اساسی داشت.
در قرن هفتم هجری خواجه نصیرالدین طوس از برجستگان است. او در عصر مغولان رصدخانه ای در مراغه تأسیس كرد و به كار تحقیق در حكمت طبیعی مثل ریاضی و نجوم و هندسه اشتغال ورزید. در همین رصدخانه بود كه زیج ایلخانی تدوین شد و با نظارت طوسی تقریباً همه آثار كلاسیك ریاضی یونانی به عربی ترجمه شد. برخی كتاب های ریاضی خواجه نصیر عبارت است از
1. كتاب كشف القناع عن اسرار شكل القطاع، این كتاب را اسكندر پاشا كاراتئو دری در سال 1891 به زبان فرانسوی ترجمه كرد.
2. جوامع الحساب بالتخت و التراب. این كتاب در سال 1963 به زبان روسی برگردانده شد.
3. الرساله الشافیه عن الشك فی الخطوط المتوازیه این رساله را در سال 1960 روزنفلد به روسی برگرداند.
4. تحریر اصول اقلیدس.
5. تحریر كتاب الكره و الاسطوانه الارشمیدس.
ابن بناءمراكشی در قرن هشتم هجری برداشت تازه ای از علم اعداد عرضه كرد و نزدیك به هفتاد رساله در همه شاخه‌های ریاضیات تألیف كرد كه مهمترین آنها تلخیص اعمال الحساب از بهترین آثار اسلامی در موضوع خود است. كتاب تلخیص اعمال الحساب را اریستید مار ترجمه كرد و در جلد هفدهم انتشارات فرهنگستان جدید لینچئی در سال 1864 منتشر ساخت.
چهره تابناك دیگر در تاریخ علم ریاضی الغ بیگ (حكومت: 850ـ853 ق)، نوه تیمور، است. او در سمرقند سلطنت میكرد و شوق مفرطی به علم هیئت داشت و كتابی را در نجوم معروف به زیج الغبیگ منتشر ساخت. قسمت اول این كتاب مشتمل است بر تقسیم اوقات، تقویم، مسائل اساسی علم هیئت و در قسمت دوم بحث از هیئت عملی، محاسبه كسوف و خسوف، ترتیب جداول و طریق استعمال آنهاست. بالاخره همین علم (علم احكام نجوم) سبب مرگ الغبیگ گردید.
در قرن نهم غیاث الدین جمشید كاشانی در محاسبه و نظریه اعداد بزرگترین ریاضیدان اسلامی است. او كاشف حقیقی كسر اعشاری بود و رقم صحیحی از عدد پی (p) را به دست آورد. كاشانی در سمرقند دایره المعارف ریاضی خود را به نام مفتاح الحساب نوشت و در تنظیم جداول جدید نجومی گوركانی شركت كرد. كتاب مفتاح الحساب را وپكه در سال 1864 به زبان فرانسوی ترجمه كرد.
در همان قرن بعد از كشته شدن الغبیگ، علاءالدین علی قوشچی ریاضیدان اهل سمرقند به اسلامبول رفت و نوشته‌های با ارزشی از مكتب الغبیگ را به همراه خود برد در استانبول كتاب محمدیه را به سلطان محمد عثمانی تقدیم كرد. در این كتاب كه بر مبنای مفتاح الحساب كاشانی نوشته شده برای اولین بار اصطلاحات «منفی» و «مثبت» به كار رفته است.
تجدید حیات دوره صفویه در ایران، آخرین مرحله فعالیت نسبتاً گسترده ای در زمینه ریاضیات به شمار میرود ولی آگاهی جهان خارجی از كارهای این دوره بسیار ناچیز است. معماران و مهندسان مدارس و مساجد و پل های این دوره همه ریاضیدانان قابلی بودند.
معروفترین چهره ریاضی قرن دهم بهاءالدین عاملی است. تألیفات ریاضی وی در واقع تلخیص و تحریری از آثار استادان سَلَف بوده است.
یكی از معاصران او به نام ملامحمد باقر یزدی، مطالعات و تحقیقات اصیل و ابتكاری در ریاضیات داشته است.
5. جایگاه ریاضیات در تقسیم بندی علوم
برای یونانیان، ریاضیات علمی بوده كه به حد كمال رسیده بود، زیرا به قول ارسطو: علمی كه دارای انگیزه خارجی نباشد بر دیگر علوم برتری دارد. ارسطو بر آن بود كه باید كوشش كنیم تا از عوالم ظاهر گذشته و خود را برای حل مسائلی كه فوق تجربه قرار گرفته‌اند آماده سازیم. نظر وی این بود كه علم فقط به كلیات تعلق دارد. ارسطو فلسفه را به سه قسمت: فلسفه نظری، فلسفه عملی و فلسفه شعری تقسیم كرده بود. فلسفه نظری هم سه قسمت می شد:
حكمت سفلی (طبیعیات)، حكمت وسطی (ریاضیات) و حكمت اولی (الاهیات) و بدینترتیب ریاضیات را حد وسط طبیعیات و الاهیات می دانست.
دانشمندان اسلامی نیز، در رده بندی دانش ها و تعیین مرتبه هر یك سهمی یتام داشته‌اند. یكی از كارهای عمده مسلمانان در این مقوله، تألیف ابونصر محمد فارابی است؛ یعنی كتاب احصاءالعلوم. گفته‌اند این كتاب راهنمای متفكران غربی در تقسیم علوم بوده است و كتاب تقسیم فلسفه گوندیسالینوس، از احصاءالعلوم اقتباس شده یا به گفته ای، شامل همان مطالب احصاءالعلوم است.
فارابی در احصاءالعلوم، علوم را به پنج دسته تقسیم كرد. علم زبان، علم منطق، علم طبیعی و علم الاهی، علم مدنی شامل فقه و كلام، و علم تعالیم. او سپس، علم تعالیم را به هفت نوع دسته بندی كرد: علم عدد، علم هندسه، علم مناظر، علم نجوم، علم موسیقی، علم اثقال و علم جبل.
چند قرن بعد، ابن خلدون در مقدمه خود علوم را به دو دسته بزرگ فلسفی ــ عقلی و نقلی ــ وضعی تقسیم كرد. او علوم عقلی را بر چهار نوع دانست: منطق، علوم طبیعی، علوم مابعد الطبیعی و علوم مقادیر یا تعالیم و در آخر، ابن خلدون علوم مقادیر یا تعالیم را به چهار بخش هندسه، حساب، موسیقی و نجوم و احكام نجوم تقسیم كرد.
متفكران مسلمان معاصر نیز در مورد تقسیم بندی علوم دیدگاه هایی دارند مثلا" علامه طباطبایی بر این نظر است كه میتوان علوم را به برهانی و غیربرهانی تقسیم كرد. علوم برهانی علومی هستند كه از روش قیاسی سود برده و بر اساس مقدمات یقینی، نتیجه یقینی به دست می آورند. علوم غیربرهانی نیز علومی هستند كه از طریق غیرقیاس یقینی حاصل می شوند در این تقسیم بندی ریاضیات جزو علوم برهانی است.
برخی از معاصران بر این نظرند كه اگر بخواهیم به طبقه بندی جامع تری در باب علوم دست یابیم بهتر است علوم را بر اساس دو پایه زیر دسته بندی كنیم:
1. طبقه بندی علوم بر اساس روش بحث و شیوه بررسی و اثبات مسائل آن.
2. طبقه بندی علوم بر پایه طبیعت مسائل مورد بحث آن.
در طبقه بندی بر پایه روش بحث می توان علوم را به چهار نوع تقسیم كرد:
الف) علوم استقرایی، علومی كه شیوه بحث در آنها مشاهده، تجربه و آزمایش است.
ب) علوم عقلی كه روش بحث در آنها استدلالهای صرفاً عقلی و منطقی است.
ج ) علوم وجدانی و ذوقی.
د) علوم مختلط كه بیش از یكی از روش های فوق در آنها به كار گرفته می شود.
در طبقه بندی بر پایه طبیعت مسائل می توان علوم را به دو دسته تقسیم كرد:
1. علوم اعتباری كه مسائل آن صرفاً اعتباری و قراردادی است و خارج از ظرف اعتبار و قرارداد واقعیتی ندارند.
2. علوم حقیقی كه مسائل آنها قطع نظر از هر واضع و اعتباركننده ای، واقعیت دارد و به چهار دسته تقسیم می شوند: علوم طبیعی، علوم اجتماعی، حكمت نظری، حكمت عملی.
بر اساس تقسیم بندی فوق، ریاضیات در تقسیم اول جزو علوم عقلی و در تقسیم دوم جزو علوم حقیقی و شاخه حكمت نظری است.
6. علوم ریاضی در اسلام
علوم ریاضی در اسلام تقریبآ به همان دسته هایی بخش میشده كه در اروپا تقسیم میكرده‌اند. با این تفاوت كه در عالم اسلام علم مناظر و علم مكانیك را نیز افزوده‌اند. ریاضیات شامل حساب، هندسه، نجوم و موسیقی بوده است و اغلب دانشمندان و فیلسوفان مسلمان این هر چهار علم را فرا می گرفتند.
الف) حساب:
در مورد خاستگاه حساب اتفاق نظر وجود ندارد برخی از پژوهندگان سرزمین هند را زادگاه حساب می دانند و معتقدند كه اعداد نام نهاده «عربی» در هند پیدا شدند و مردی به نام كَنكه، در زمان منصور خلیفه عباسی، آن را به شرق آورد. كنكه كتاب سند هند را با خویش از هند آورد و این كتاب را براهما گوپتا در حدود 628 میلادی تألیف كرد. سند هند به طور كلی، كتابی در نجوم بود و در آن براهما گوپتا طریقه محاسبه با اعداد از 1 تا 9 و صفر را شرح داده بود. كتاب سند هند به خواست منصور و به قلم محمد بن ابراهیم فزاری به عربی برگردانده شد. از بزرگترین مفاخر تمدن اسلام در حساب ابوجعفر خوارزمی است كه كتابی درباره ارقام هندی نگاشت حسابدانان مسلمان عملی را كه معروف به طرح 9 به 9 است ارائه دادند، كه برای امتحان كردن محاسبات حسابی به كار می رود و قاعده امتحان و تصحیح و قاعده خطائین، كه به كمك آنها برخی مسائل جبری را می توان به طریقه غیرجبری حل كرد، و همچنین جذر و كعب، كسرها و قاعده سه، را بارها تشریح كردند.
ب) هندسه:
آثار نمایان معماری بین‌النهرین و مصر ما را بر آن می دارد كه بگوییم آنان قواعد دقیقی در اندازه گیری داشته‌اند. مسّاحان ریسمان به دست مصری و نیایشگاه سازان، گویا شیوه تطابقی و انتقالی خاصی در نقل اضلاع و شكل ها با میخ و طناب برای كشیدن دایره و خط راست بر شن ها ابداع كرده بودند. این روش آنان را توانا ساخت كه فرایندی هندسی در ساختمان دقیق با اسلوبی خاص برای ساختمان هایی نظیر اهرام بزرگ جیزه، كه در 2600 پ م برپا شد، بیابند. در اینجا می توان قیاس كرد كه هندسه یونانی به منابع مصری و بین‌النهرین تا چه میزان استناد كرده است. نبوغ یونانی عبارت است از اینكه هندسه را به بستری دقیق و فكری مجرد و فارغ از مادّه و بیانی استدلالی انداخت. اوج خدمت یونان به هندسه كه آن را به قالب استوار و علمی ریخت در كوشش های اقلیدس پایه گذار مكتب اسكندرانی در حدود 300 پ م در كتاب اصول هندسه جلوه گر شده است. نویسندگان عالم اسلامی در قرن دوم هجری از طریق ترجمه هایی كه به امر هارون و مأمون، خلفای عباسی، در بغداد تدوین شد، با اصول اقلیدس آشنا شدند و كار مهم اعراب در هندسه بیشتر حفظ آن بود نه كشفیات جدید.
ثابت بن قره كه اهل بین‌النهرین بود بزرگترین هندسه دان عرب محسوب می شود. وی هفت كتاب از هشت كتاب مخروطات آپولونیوس را به عربی برگرداند و رسائل بسیاری در اخترشناسی و هندسه نوشت. او آنچه را در آثار قدما مبهم بوده تشریح كرده و توضیح داده است. با مطالب و پیشنهادهای جدیدی مطالعه در علوم قدیم را سهل كرده است. وی در آثار خود تقریبآ از همه موضوعات علمی كه در آن دوره مورد مطالعه بوده سخن به میان آورده و در رسائل خویش راجع به فرائض اصلیه و بدیهیات اقلیدس در هندسه و جراثقال بحث كرده است. برادران بنو موسی در ترجمه آثار اقلیدس و ارشمیدس و آپولونیوس با ثابت بن قره همكاری كردند و حسن بن موسی نخستین كسی است كه زاویه را به سه قسمت متساوی تقسیم كرده بود.
از دیگر اقدامات مسلمانان در هندسه آنكه، هندسه را با منطق تطبیق دادند چنان كه در اوایل قرن پنجم هجری ابن هیثم كتابی تألیف كرد كه برای نخستین بار اصول هندسی و عددی اقلیدس و آپولونیوس را در آن جمع كرد و آن را به چندین باب مرتب تقسیم كرد و با برهان و دلیل صحت آن را ثابت نمود به صورتی كه موضوع مزبور جزء امور حسی منطقی تعلیمی در آمد و نقیصه‌های اقلیدس و آپولونیوس از آن مرتفع گشت؛ و بالاخره جنبه ای از هندسه اسلامی كه همواره بیگانگان را تحت تأثیر قرار داده، طرحهای بدیعی است كه روی چوب، كاشی یا موزاییك ایجاد شده و به وفور در سراسر عالم اسلامی به چشم می خورد، مثلا" كاشی كاری های منظم و ظریف و استثنایی كه در الحمرای گرانادا (قرطبه) در اسپانیا دیده می شود تحسین جهانیان را برانگیخته است. چنین سنت صنعتگری با این پیچیدگی متضمن داشتن دانش هندسی فراوانی است، هر چند این دانش صرفاً از استادی به شاگردش رسیده باشد.
ج) نجوم (هیئت):
علم نجوم و وابسته آن، احكام نجوم [1] از طریق كتاب المجسطی بطلمیوس، از یونانیان به جهان اسلام رسید همچنین مكتبی هندی بود كه از كتاب سِدهانته به زبان عربی ترجمه شد و به نام سند هند نامیده شد.
مسلمانان علم نجوم را از یونان و هند و ایران و كلده و عرب جمع آوری و مدرن كردند و طبعاً در آن قسمت معلومات مهمی به دست آوردند. به چند علت، علم نجوم در اسلام مورد توجه بود: یافتن جهت قبله و تعیین اوقات نمازهای روزانه و وظیفه استخراج طالع برای امیران و فرمانروایان، كه تقریباً همیشه در كارهای خود از منجمان مشورت میطلبیدند، و نیز میل به تكمیل علم حركت اجرام سماوی و حل كردن دشواری های آن.
چنان كه گفتیم محمد فزاری زیج [2] سند هند را برای منصور به عربی ترجمه كرد و تا زمان مأمون زیج مذكور مستند مسلمانان بود و در آن هنگام خوارزمی در بیت الحكمه بغداد زیجی دیگر تنظیم كرد كه مشتمل بر آراء ستاره شناسان هند و روم و ایران بود. سه فرزند شاكر در علم نجوم شهرت بسیاری یافتند و از كارهای مهم آنان این بود كه درجه خط نصف النهار را برای مأمون مقیاس كردند. از دیگر علمای نامی هیئت در آن زمان، حنین بن اسحاق و ثابت بن قره، ماهانی، فرغانی، تبانی، بوزجانی، بیرونی و دیگران بودند و پیشوای علم هیئت در قرن هفتم خواجه نصیر طوسی بود.
خدمات مسلمانان به علم نجوم یا هیئت:
1. ترجمه كتب یونانی و هندی، اگر عربها كتاب های یونانی را به عربی ترجمه نمی كردند، اصولا" علم هیئت و نجوم از میان می رفت، زیرا اكنون می بینیم نسخه اصل یونانی آن كتاب ها موجود نیست و فرهنگیان در نهضت علمی خود از ترجمه‌های عربی استفاده كردند و البته این برای مسلمانان افتخار بزرگی است كه با اقدامات مفید خود نگذاشتند علوم پیشینیان نابود شود.
2. مسلمانان موهومات مربوط به تنجیم را رد كردند و بی اساس بودن آن را اعلام داشتند.
3. مسلمانان راه‌های تازهای برای رصد پیدا كردند.
4. ابزارهای بسیاری اختراع كردند كه از آن جمله ذات السمت و ارتفاع و ذات الاوتار است.
5. ادخال ظل در محاسبات هیوی.
6. ترتیب زیجات حركت سیارات.
7. تحقیقات كامل درباره میل منطقه البروج و تناقص آن.
8. اكتشاف میزان تقویم اعتدالین.
9. تحقیق طول مدت سال، كه در این مسئله مسلمین مقدم بر همه هستند.
10. مشاهده بی نظمی هایی در فاصله ماه از آفتاب و كشف یك حركت غیرمتشابه ثالثی كه امروزه به نام تغییرات معروف است.
11. بیرونی نخستین كسی است كه تسطیح كره را استنباط كرد و در كتاب خود آثار الباقیه آن را شرح داد.
12. شیخ شرفالدین طوسی اصلاحات بجایی در اسطرلاب كرد.
د) موسیقی:
در صدر اسلام (قرن های اول و دوم هجری) رامش گرانی چون طویس و ابن محرز و ابن مسجح كه از حمایت دربار خلفای اموی در دمشق برخوردار بودند در سرزمین های ایران و بیزانس به سیر و سفر می پرداختند و ضمن آشنایی با موسیقی هر ولایت آن را با اوزان بومی خویش تطبیق می دادند. ابن مسجح گویا از نخستین سرایندگانی باشد كه اصولی از موسیقی كهن عرب را به كتابت درآورد. بعدها فیلسوفانی مانند كندی شیوه‌های منظم و پیوسته تحلیل و تدوین موسیقی را بر اساس روش های اقلیدس و اریستوخنوس و نیكوماخوس ترتیب دادند. موسیقی چنان پایگاه بلندی یافت كه مكتوبات بسیاری در زمینه تاریخ شعر و موسیقی فراهم آمد كه مشهورترین آنها عبارت اند از والعقد الفرید نوشته ابن عبدربه (متوفی 246 ق) و كتاب الاغانی در بیست و یك جلد نوشته ابوالفرج اصفهانی (متوفی 356 ق).
مسلمانان در ضمن ترجمه علوم بیگانه، كتاب های موسیقی یونان و هند را نیز ترجمه و آن را مطالعه كردند و مطابق ذوق خود تكمیل كردند، چنانكه از آهنگ های ایرانی و یونانی و هندی و عرب آهنگ تازهای پدید آوردند و علم مخصوصی درباره موسیقی تدوین كردند كه جزو مآثر تمدن اسلامی است. موسیقیدان های مسلمان علاوه بر اختراع آلات موسیقی جدید و ساختن آهنگ های تازه كتابهای سودمندی نیز در موسیقی تألیف كردند.
ه) جبر:
مسلمانان دو كتاب در علم جبر را از یونانی به عربی ترجمه كردند كه یكی تألیف ذیوفانتس و دیگری تألیف ابرخس بود، ولی اكنون علمای فن تشخیص داده‌اند كه دو كتاب مزبور چندان مهم نبوده و اساس علم جبر را مسلمانان وضع كرده‌اند. آنچه مسلم است آنكه، مسلمانان پس از اقتباس اعداد هندی علم جبر را وضع كردند. زیرا اثر نجومی برهما گوپتا یكی از آثاری بود كه فضلای هندی برای منصور عباسی به ارمغان آوردند و این اثر را فزاری به عربی ترجمه كرد.
معروفترین تألیفات اسلامی در علم جبر كتاب جبر و مقابله خوارزمی است كه ظاهراً پس از اطلاع از علم جبر در یونان و ایران و هند، جبر عربی را استخراج كرد. اصطلاح عربی الجبر به معنی «الزام و اكراه» و نیز به معنی «جبران و شكسته بندی» است. كتاب المختصر فی حساب الجبر و المقابله چندین بار، به نام لیبر الگوریسمی؛ یعنی كتاب الخوارزمی به لاتینی ترجمه شده است. كلمه الگوریسم[3] ترجمه نام خوارزمی است به معنی حساب و محاسبه كه روش محاسبه را از آن گرفته‌اند. ابوكامل مصری، كرجی، ابوالوفای بوزجانی، سرخسی، عمر خیام و كاشانی نیز تألیفاتی در علم جبر دارند.
و) مثلثات:
كاملترین بحث مثلثات در یونان در المجسطی گنجانیده شده است كه بطلمیوس منجم آن را در اسكندریه نگاشت. كلمه «المجسط» تحریف عربی كلمه مگیسته به معنی «بزرگترین» است. بطلمیوس در مجسطی جدول ها و قواعدی را بیان می كند كه این جدول ها كل مثلثاتی بود كه منجمان یونانی قدیم در اختیار داشتند.
از میان ریاضیدانان مسلمانی كه در زمینه مثلثات تلاش كردند میتوان از حبیش حاسب، ابوالوفای بوزجانی، بیرونی، ابونصر منصور بن عراق و خواجه نصیرالدین طوسی یاد كرد.
حبیش حاسب از منجمانی بود كه در كنف حمایت مأمون فعالیت میكرد و تردیدی نیست كه او تابع های مثلثاتی جیب (سینوس) و جیب تمام (كسینوس) و سهم و ظل اول (تانژانت) و ظل ثانی (كتانژانت) را به خوبی می شناخت و با مهارت كامل آنها را در محاسبات خود، در مثلثات كروی به كار می برد. آثار او شامل 1. زیج، 2. كتاب فی معرفه الكره و العمل بها، 3. كتاب الدوائر الثلاث المماسه و كیفیه الاوصال (الاتصال) است. شاید بتوان استفاده از هر شش تابع مثلثاتی و اصلاحات انجام شده در استخراج فرمول های مثلثات كروی را به مسلمانان منسوب كرد.
7. مهمترین نوآوری مسلمانان در ریاضیات
1) اعراب قبل از هر قومی شاگردان یونانیان محسوب می شوند ولی باید دانست كه آنها به ادامه علوم یونان پرداخته و آن را نگهداری كردند، نشو و نمو دادند و در بعضی موارد نیز آن را تكمیل كردند.
2) آشنا ساختن مسلمانان و سپس اروپاییان با حساب و ارقام هندی (دستگاه شمار و سیستم عددنویسی) كه امروزه رایج است و نیز به كار بردن این ارقام در ضمن محاسبات برای نخستین بار حاصل كار مسلمانان است. غربی ها استفاده از اعداد عربی یا هندی و همچنین استفاده از صفر را از مسلمانان و به خصوص از خوارزمی آموختند و حتی كلمه صفر به همان صورت، وارد زبانهای اروپایی شد. این عدد (صفر) به صورت «صفیروم» و «صفرو» و «صرو» در ایتالیا و به صورت «شیفر» در فرانسه و «صیفر» در انگلستان و آلمان باقی مانده است. نتیجه این مطلب آنكه مسلمانان استعمال اعداد را به مردم آموختند، با آنكه خود مبتكر و سازنده آن نبودند. بدین طریق بانيِ حساب در زندگی روزانه شدند.
3) مسلمانان علم جبر را گسترش دادند و به آن نظم و ترتیب علمی بخشیدند و نویسنده كتاب الجبر و المقابله یعنی خوارزمی را می توان یكی از بنیانگذاران علم جبر به مثابه رشتهای متمایز از هندسه شمرد. خوارزمی جبر را به منزله یك فن اختراع نكرد و آن را یا از یونانیان یا به احتمال قویتر از هندی ها برگرفت. ولی دستاورد او این بود كه جبر را چنان وضوح بخشید و چنان شیوا بیان كرد كه استفاده از آن معمول شد.
4) پرداختن به اصل پنجم اقلیدس و كوشش برای اثبات آن. این كار از یونان باستان آغاز شد و تا اواخر قرن نوزدهم میلادی ادامه یافت. بدین ترتیب، مسلمانان مقدمات هندسه فضایی را فراهم كردند.
5) فراهم آوردن نخستین جداول توابع مثلثاتی و به كار بردن ظل معكوس به عنوان تابع مثلثاتی مستقل و استفاده منظم از آن. بتانی، ریاضیدان مسلمان، نسبت مثلثاتی سینوس را به دست آورد. او نسبت مخالف آن، كسینوس را نیز به كار برد. ابن یونس نیز قضیه سینوس را كشف كرد كه تا امروز نیز در مورد مثلث های واقع بر سطوح كروی به كار می رود.
6) عدد p (پی) را غیاث الدین جمشید كاشانی با دقتی كه تا مدت ها همتایی نیافت محاسبه كرد.
7) حل معادلات درجه سوم به همت خیام، كاشانی و تحقیقات فراوان در علم مخروطات.
8) ادخال ظل در مثلثات. خواجه نصیر طوسی نخستین كسی است كه حالات شش گانه مثلث كروی قائم الزاویه را در كتاب الشكل القطاع به كار برد.
9) مسلمانان با تلفیق جبر و هندسه، اصول هندسه تحلیلی را به وجود آوردند. آنها نخستین كسانی بودند كه برای حل بعضی از مسائل هندسی از جبر، و برای حل بعضی از مسائل جبری از هندسه استفاده كردند.
10) امتحان 9 به 9، قاعده دو خطا، قضایای بیرونی در حساب شطرنج، مسئله كوچكترین مقیاس و مثلث حسابيِ خیام و بسط دو جملهايِ خیام از ابتكارات مسلمانان در حساب است.
11) مثلثات مسطحه و مجسمه را تكمیل كردند، و برای توابع مثلثاتی جدول های صحیح فراهم آوردند و چند تابع مثلثاتی را كشف كردند. از این گذشته، با آنكه علم مثلثات از آغاز پیدایش همراه با علم نجوم رشد و توسعه پیدا كرده بود، نخستین بار نصیرالدین طوسی در كتاب شكل القطاع آن را به حد كمال رساند و به مثابه علم مستقلی مطرح كرد و این خود پیشرفت بزرگی را در ریاضیات نشان میدهد.
12) اختراع، اثبات و به كار بردن شكل (قضیه)، مُغنی (قضیه سینوس ها) به جای شكل قطاع در مثلثات مسطحه و كروی به همت ابونصر عراق و نیز اختراع و اثبات قضیه تانژانت ها با كاربردی مشابه به دست ابوالوفای بوزجانی.
13) حل دستگاه‌های معادلات سیاله تا درجه نهم و تا 4 معادله و 7 مجهول كه كرجی آن را به دست آورد.
14) پرداختن به برخی مسائل كلاسیك ریاضیات از قبیل تربیع دایره، تثلیث زاویه، تسبیع، تَتسیع دایره (رسم 7 ضلعی و 9 ضلعی منتظم).
8. استفاده اروپاییان از ریاضیات اسلامی
در قرن دهم میلادی كه كشورهای مسلمان در اوج تعالی فرهنگ و تمدن بودند در اروپا، به غیر از اندلس، كشوری نبود كه در آنجا تحصیل علوم ممكن باشد. حتی قسطنطنیه هم از علوم محروم بود. در این عصر اشخاصی كه در آنها شوق تحصیل بود ناچار به طرف اندلس رهسپار شدند. مثلا" گربرت [4] در سال 999 میلادی تحصیلاتی كرد و به نام سیلوستر دوم مقام پاپی را به دست آورد، ولی وقتی كه خواست علومش را در اروپا انتشار دهد این مطلب در نظر مردم چنان خلاف طبیعت جلوه كرد كه او را متهم كردند كه شیطان در جسم او حلول كرده و از طریق خداوند خارج شده است.
با گذشت زمان، اهالی مغرب زمین با ایجاد روابط با مسلمانان سیسیل، اسپانیا و شرق، ریاضیاتی را كه تا آن زمان برایشان روشن نبود، فرا گرفتند. سیاحان، سپاهیان جنگهای صلیبی، یهودیان اسپانیا و ایتالیا و تاجرها، نقش اساسی را در ترقی جدید علم به عهده داشتند. چنان كه در سال 1130 م دارالترجمه‌ای در طلیطله با ریاست اسقف اعظم، رایمون، تأسیس شده و تمام كتب مشهور عربی را به لاتینی ترجمه كرد. این ترجمه ها تأثیر فوق العادهای در پیشرفت فرهنگ و علم كشورهای اروپایی داشته است. مثلا" در قرن دوازدهم رساله حساب و جبر خوارزمی به لاتین ترجمه شد و ارقام هندسی 0 و 1 و 2 تا 9 در اروپای غربی مورد قبول قرار گرفت و به نام ارقام عربی نامیده شد. تقریباً در همین زمان آثار فارابی، ابوكامل، ابن هیثم و ابن سینا نیز ترجمه شد.
در قرن دوازدهم مقدمات اقلیدس، مجسطی بطلمیوس، آپولونیوس و سایر دانشمندان یونان قدیم از عربی به لاتینی برگردانده شد. در این زمان در اسپانیا، ایتالیا و جنوب فرانسه مدارس كاملی به ترجمه آثار عربی مشغول بودند. كتاب آباك لئوناردو فیبوناتچی قرن سیزدهم میلادی تحت تأثیر ابوكامل نوشته شد و مسائل فراوانی در جبر و حساب را از او تقلید كردند. همچنین رژیو مونتان در قرن 15 م در كتاب پنج كتاب درباره انواع مثلثها از آثار بتانی و طوسی استفاده كرد. در قرن 15 م تماس بین دانشمندان مشرق زمین و اروپا بیشتر شد. در این زمان جداول نجومی به زبانهای لاتین ترجمه شد و اصطلاحات «مثبت» و «منفی» قوشچی در اروپا به كار رفت. در همین زمان در اروپا بحثی كه طوسی درباره اقلیدس كرده بود شناخته شد و اروپاییان با نظریات خیام و طوسی درباره تشكیل نسبت ها و خطوط موازی آشنا شدند.