جمعه ۶ مرداد ۱۳۹۶
معمای المپیادی: مجموع مکعب ارقام

برای عاشقان اعداد

معمای المپیادی: مجموع مکعب ارقام

کد: m171
سطح دشواری این سؤال المپیاد ریاضی: متوسط به بالا
تاریخ انتشار: ۳ تیر ۹۵
وضعیت جواب: منتشر شده
تعداد بازدید: ۱۹۰۷
تعداد پاسخ: ۷
امتیاز کاربران: ۳.۴۲
تعداد آرا: ۶۶

چکیده:

در بازه اعداد ۱۰۰ و ۱۰۰۰، چهار عدد طبيعی داریم به طوری که هريک با مجموع مکعبات رقم هايشان برابرند.

از مجموعه سؤالات المپیاد ریاضی کشور

میدانيم بين اعداد ۱۰۰ و ۱۰۰۰، چهار عدد طبيعی موجودند به طوری که هريک با مجموع مکعبات رقم هايشان برابرند و سه تا از آنها عبارت اند از ۴۰۷ ،۳۷۱ و ۱۵۳

آیا می توانید عدد چهارم را دقيقاً به دست آوريد و بگوييد در کداميک از فاصله های زير قرار دارد؟

1) [300-400]

2) [400-500]

3) [500-600]

4) [600-700]

5) [700-800]

 

امتیاز شما به این معما:

پاسخ معمای المپیادی 'مجموع مکعب ارقام'

گزينه ی (1) صحيح است.
 

یکی از این اعداد مطرح شده در همان ابتدا توجه ما را به خود جلب می کند:

371 = 33 + 73 + 13

هدف قصد محاسبه مکعب ارقام است و در این بین ارقام صفر و یک جذابیت های خاص خود را دارند! مخصوصا وقتی در جایگاه یکان قرار می گیرند.

با کمی دقت متوجه می شویم که رابطه زیر نیز برقرار است:


370 = 33 + 73 + 03


بنابراين، عدد ديگر ۳۷۰ است و در بازهی [400, 300] قرار دارد.

جواب این سؤال المپیاد ریاضی، منتشر شده است.

نظراتی که درج می شود، صرفا نظرات شخصی افراد است و لزوماً منعکس کننده دیدگاه های آی هوش نمی باشد.
آی هوش: مرجع مفاهیم هوش و ریاضی و انواع تست هوش، معمای ریاضی و معمای شطرنج
 
در زمینه‌ی انتشار نظرات مخاطبان، رعایت برخی موارد ضروری است:
 
-- لطفاً نظرات خود را با حروف فارسی تایپ کنید.
-- آی هوش مجاز به ویرایش ادبی نظرات مخاطبان است.
-- آی هوش از انتشار نظراتی که در آنها رعایت ادب نشده باشد معذور است.
-- نظرات پس از تأیید مدیر بخش مربوطه منتشر می‌شود.
 
 
 
 
  1. احمد پنجشنبه ۳ تیر ۱۳۹۵ --- ۲۳:۳۲:۴۶

    گزینه دو
    370

  2. احمد پنجشنبه ۳ تیر ۱۳۹۵ --- ۲۳:۳۸:۰۶

    سؤال می توانست بدون راهنمایی ارائه سه عدد و بیان اینکه فقط چهار عدد اینچنینی وجود دارد مطرح شود که ارائه راه حل آن جالبتر می شد.
    اما در حد این سؤال، همین قدر کافی است که اگر عددی (در اینجا سه رقمی) با رقم یکان یک (371) منطبق بر فرض مسأله وجود داشته باشد، همان عدد با یکان صفر هم جواب مسأله خواهد بود. زیرا با وقتی یکان یک تبدیل به صفر می شود از هر دو طرف تساوی فقط یک واحد کاسته می شود (مکعب یک همان یک است!)

    1. فرید جمعه ۴ تیر ۱۳۹۵ --- ۱۴:۲۵:۲۵

      واقعا لذت بردم از تحلیلتون. عالی بود. می شه بگید اگه راهنمایی نمی کرد چجوری می تونستیم اعداد رو پیدا کنیم؟

  3. احمد جمعه ۴ تیر ۱۳۹۵ --- ۱۶:۵۱:۴۵

    حل کامل آن پیچیدگی خاصی ندارد اما کمی حوصله می خواهد:

    اگر عدد مطلوب را abc فرض کنیم (سه رقمی) باید داشته باشیم:
    a(100-a2)=c(c2-1)+b(b2-1)
    جمله شامل a (سمت چپ تساوی) همیشه مثبت و یکی از اعداد 99،171،192،273،288،336،357،375،384 می باشد.
    جمله شامل c هم همیشه مثبت و یکی از اعداد 0،6،24،60،120،210،336،504،720 خواهد بود.
    اما جمله شامل b یکی از اعداد 639،432،273،156،75،24،0 و 3- یا 9- یا 12- می شود.

    حالا به روش حذفی معلوم است که c نمی تواند 504 یا 720 شود زیرا حداکثر جمله a فقط 384 می باشد و هیچ کدام از عددهای منفی مجاز نمی توانند آن را اینچنین کاهش دهند. با استدلال مشابه b هم نمی تواند 639 یا 432 باشد.

    پس می ماند هفت عدد برای جمله با c و هشت عدد برای جمله با b. می توان با تشکیل یک جدول هفت در هشت و با سر سطرها و سر ستونهای مقادیر مجاز جملات شامل b و c در هر خانه جمع جبری این دو جمله را نوشت. خانه هایی از جدول مجاز و قابل قبول هستند که مقدارشان در فهرست مقادیر مجاز جمله شامل a باشد.
    بدین ترتیب سه خانه جدول مطلوب می شوند که برای رابطه بالا:
    1) 336+0=336
    2) 24+75=99
    3) 0+273=273

    برای این سه تساوی اعداد مطلوب عبارتند از:
    1) 470
    2) 153
    3) 370 و 371 زیرا 0 برای عبارت شامل c از دو مقدار 0 و 1 برای c حاصل می شود.

    با تقدیم احترام.

    1. debuger شنبه ۵ تیر ۱۳۹۵ --- ۱۲:۰۹:۲۳

      371

  4. عاشق ریاضیات شنبه ۵ تیر ۱۳۹۵ --- ۱۵:۳۱:۳۰

    مرسی از سایت خوبتون. کاملا از بقیه متمایز هستین

  5. محسن پنجشنبه ۱۸ آذر ۱۳۹۵ --- ۱۹:۴۲:۴۳

    سخت بود

پاسخ شما

پرطرفدارترین معماهای امروز